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1、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分的极坐标计算公式,适用范围,直角坐标与极坐标的关系,其中 0 r+,0 2,(或-),考虑典型小闭区域 曲边四边形区域,一、二重积分的极坐标计算公式,二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式,计算方法化为二次定积分(通常先对 后对 积分),二重积分化为二次积分几种常见的情形,二重积分化为二次积分几种常见的情形,二重积分化为二次积分几种常见的情形,若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、典型例题,例.求,其中D：x2+y
2、2 1,解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。,令x=rcos,y=rsin,则,x2+y2 1的极坐标方程为r=1.,由(2),D*:0 r 1,0 2,另由几何意义：,例1.计算,其中D:x2+y2a2(a0).,解：D 如图,由于D关于x轴，y 轴都对称，,即f(x,y)也关于x轴，y轴对称.,故,从而，原式,注：本题若用直角函标计算，会遇到,而这个积分是“积不出”的。,例1.,方法二,方法一,例2,0,x,y,D,例2,方法二,解,例3,例4,解,积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.,例5,例6,解,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐
3、标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.交换积分顺序,提示:积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算二重积分应注意的问题,1、由被积函数和积分区域D适当地选取坐标系，当D是圆域，环域（或其一部分）或被积函数为型时采用极坐标系下计算，否则采用直角坐标。,适当地选取坐标系，,适当地选取积分次序，,2、由积分区域D的形状特点适当地选取积分次序，极坐标系下一般先对r后对积分，直角坐标系下一般由X还是Y型区域决定。,准确地确定积分限：,3.外层积分的上下限一定是常数，内层积分的上下限一般是外层积分变量的函数，无论内层还是外层，上限都大于下限。,
