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1、三重积分概念与计算(1),一、三重积分的定义:,a,b,c,d,z=g,z=e,N,M,P,=a,b;c,d;e,g,I=,积分区域是长方体,.,.,D,同理，也有其它 积分顺序.,1.三重积分的计算,化为一个定积分和一个二重积分的运算,z2(x,y),为图示曲顶柱体,I=,P,N,M,.,.,积分区域是曲顶柱体,D,z1(x,y),2.三重积分计算,z2(x,y),I=,D,积分区域是曲顶柱体,为图示曲顶柱体,也化为一个定积分和一个二重积分的运算,z1(x,y),2.三重积分计算,.,这种计算方法叫投影法（先一后二法）,注意1:,注意2：三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对x
2、外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形状和被积函数的特性（主要是几何体的形状，即往哪个坐标面投影利于解题）。,一般的，若给定积分次序时：1、积分次序为 zyx；投影到xoy面；2、积分次序为 yzx；投影到xoz面；3、积分次序为 xy z；投影到yoz面。,：平面 x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1 所围成的区域.,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x=0,y=0,x+2y=1 围成,z=0,1,.,.,.,例1.计算三重积分,x+2y+z=1,Dxy,I=,x+2y=1,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,6,2,4,
3、1 找出上顶、下底及投影区域.2 画出投影区域图.,Dxy:,y=0,3x+y=6,3x+2y=12 围成.,z=0,不画立体图做三重积分,Dxy,.,.,例2.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例2.,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2.
4、,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2.,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2.,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2.,4,2,.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,.,D,6,2
5、,4,D,.,例2.,1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图,不画立体图做三重积分,Dxy:,z=0,。,。,Dxy,当 f(x,y,z)=ycos(z+x),I=?,。,例3.,I=,试计算：,？,y2=x,.,例3.,y2=x,.,例3.,。,。,y2=x,.,D,例3.,Dxy:,z=0,1,1,。,。,Dxy,例4.,双曲抛物面,1,x+y=1,1,z=xy,.,例4.,1,x+y=1,1,z=xy,.,例4.,1,1,x+y=1,。,。,z=xy,.,例4.,解:,解,如图，,c1,c2,z,Dz,3.三重积分计算的另一思路（对有的问题适用）,先做二重积分，后做定积分,截面法
6、,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,3.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,截面法,c1,c2,I=,先做二重积分，后做定积分,3.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,截面法,c1,c2,3.计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,.,先做二重积分，后做定积分,I=,截面法,设空间有界闭区域，其中 是竖标为 Z的平面截闭区域 得到的平面闭区域。,则有计算三重积分的“先二后一公式”,例7,解,投影到yoz面,b,c,例9.例：计算,a,D0,Dz,.,.,b,c,.,=,.,D0,a,.,z,例9.例：计算,例10,分析,解,三重积分的定义和计算：,（计算时将三重积分化为三次积分的两种形式）,三、小结,解法一,练习,解法二,练习2,解,
