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1、一、三重积分的概念二、重积分的计算三、三重积分的换元四、简单应用,三重积分,一、三重积分的概念,设三元函数 在有界闭体V有定义，,用分法T将V分成n个小体,设它们的体积分别是,在小体,上任取一点,作和,称为函数 在体V的积分和。,令,若当 时，三元函数 在V,的积分和存在极限J(数J与分法T无关，也与,点 的取法无关)，即,则称函数 在体V可积，J是函数,在体V的三重积分，记为,或,其中V称为积分区域，称为被积函,数,dV 或dxdydz称为体积微元。,设被积函数,则区域V 的体积为,设有界体 上每一点的密度是,则 的质量为,二、三重积分的计算,1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分,设积分区
2、域V为,如 图，,过点,闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D.,再计算,得,则,注,相交不多两点情形.,表示当 固定时,对 积分,的变化由 到,其次,当 固定时,对 积分.,即,最后对 积分,的变化从 到.,即,的变化从 到.,z=z2(x,y),I=,P,D,z=z1(x,y),这就化为一个定积分和一个二重积分的运算,例1 计算平面 与,所围成的四面体的体积.,例2,计算三重积分,，,上半椭球体：,其中是,V：平面 x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1 所围成的区域,1,1,Dxy,Dxy:x=0,y=0,x+2y=1 围成,1,例3 计算三重积分,x+2y+z=1,Dxy,I=,解,2
3、.截面法,(红色部分),(1),投影,得投影区间,(2),(3),计算二重积分,(4),最后计算单积分,即,Dz,.,b,c,=,例4 计算,D0,a,z,三.三重积分换元法,定理,若三元函数 在有界闭体 连续,则三重积分 存在.,设函数组,在 空间有界闭体 有定义.若满足下列条件:,1)函数,所有的偏导数在 连续;,2),则有三重积分的换元公式,3)函数组(1)将 空间中的 一一对,应地变换为 空间中的.,例5计算六个平面,所围成的平行六面体V的体积，其中,是常数，且,例6 计算 其中是由曲面,所围成的区域.,解 作变换,而,由公式,已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.,
