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1、7.4 重积分的应用举例,1.重积分的几何应用,计算面积与体积,解,所求体积为,于是,曲面的面积,设曲面S的方程zf(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数,则曲面S的面积为,设光滑曲面,则面积 S 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d S 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,则有,解 由对称性知，所求曲面面积是位于第一挂限中的 曲面 的面积的8倍.,于是所求曲面面积为,利用曲面的参数方程求曲面的面积,若曲面S 由参数方程,给出，其中D是一个平面有界闭区域,又x(u,v),y(u,v),z(u,v)
2、在D上具有连续的一阶偏导数，且,不全为零，,则曲面S 的面积,其中,解 由已知条件得,2.重积分的物理应用,(1)质量,平面薄片的质量,是薄片 在 处的面密度.,空间物体 的质量,是物体 在 处的体密度.,设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 则xMMy,薄片对y轴的静矩为,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,(2)质心,分析,P点对x轴的静矩为dMxy(x y)d,设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 则yMMx,薄片对x轴的静矩为,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的
3、质心坐标为,(2)质心,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,讨论 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度是常数 如何求该平面薄片的质心(称为形心)？,提示,(2)质心,类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为,(2)力矩与质心,转动惯量元素,在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为r(x,y)ds.,P
4、点对x轴和对y轴的转动惯量为 dIxy2(x y)d dIyx2(x y)d,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为,(3)物体的转动惯量,类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为,设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为,(3)物体的转动惯量,解 因为闭区域D对称于y轴,所以质心 必位于 y 轴上,于是,由公式,其中S的面积为,所求重心坐标为,解,物体所占的空间闭区域 如图所示.,由对称性得,
