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1、1,8.1 重积分的概念与性质,2,重积分的定义,回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。,首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。,不妨假定它在轴上占据区间0，l，设其线密度为,3,如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)常数。,这里(x,y)0且在D上连续。,4,如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域，其体密度函数为=(x,y,z)常数,则其质量可表示为,5,定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分割成 n 个小区域,如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式
2、的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作,6,由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分,7,定义8.1.2 设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域,8,如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为,其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。,特别地，当n=2时函数 f(X)=f(x,y)(x,y)D，,即为函数f(x,y)在D 上的二重积分，d称
3、为面积元素。,9,当n=3时函数 f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，,即为函数f(x,y,z)在 上的三重积分，dv称为体积元素。,有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即,可以证明,定理(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。,10,重积分的性质,我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。,假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。,(2)(关于被积函数的线性可加性）若、为常数，则,表示D的面积,11,(3)（关于积分区域的可加性）,无公共内点，则,(
4、4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则,特别地，有,12,(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，则,(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，表示D的面积，则至少存在一点(,)，使,下面仅给出结论(5)、(6)的证明。,13,14,(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x2)2+(y1)2 2,解(1)因为在区域D1上,0 x+y 1，(x+y)3(x+y)2,根据性质5，得,15,1 2,从图形易知在D上除切点外，处处有,x+y 1(x+y)2(x+y)3,所以有,(x2)2+(y1)2
5、 2,该圆域与直线x+y=1相切。,16,例3 利用二重积分的性质，估计积分的值。,解,因为 fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。,先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。,f(0,0)=1。,17,显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。,于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为。所以有,18,8.2 二重积分的计算法,利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。,19,利用直角坐标计算二重积分,设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函
6、数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。,如何求该曲顶柱体的体积呢？,1、曲顶柱体的体积-二重积分的几何意义,20,(1)分割 用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,n，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。,21,(2)近似 当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体,22,由二重积分定义立即得到,这也是二重积分的几何意义。,23,24,2.区域的不等式组表示(举
7、例),例 下列不等式组各表示什么区域,25,例 下列图形怎么用不等式（组）表示,26,3、二重积分的计算法,用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。,(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。,X型,27,在区间a,b上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0),2(x0)为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：,先计算截面面积。,28,一般地，过区间a,b上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：,于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体
8、积的方法，得曲顶柱体体积为,这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式,29,上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。,就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到 2(x)的定积分；,再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间a,b上的定积分。,这个先对y、后对x的二次积分也常记作,30,Y型,D,D,31,计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，,在区间1(y)x 2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间c y d上对y积分。,这就是把二重积分化为先对x、后对 y的二次积分的公式。,32,应用公式(1)时，积分区域必须是X型区
9、域。,应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。,X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。,Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。,33,若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。,若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。,这表明二次积分可以交换积分次序。,34,4 二重积分计算的一般方法,要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。,化为两次单积分,(1)作图，确定D的类型。,(2)选定积分顺序。,(3)定出积分上下限。,(4)计算定积分。,确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。,要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。,35,36,评注 本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函数f(x,y)的特性。,37,5 交换积分顺序,由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图,由积分区域按新的积分顺序确定积分限。,例3 交换以下积分的积分顺序,38,课内练习一 改变以下二次积分的积分次序,39,40,
