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1、三重积分的概念及其计算法,第四节,复习 二重积分的概念,设函数 f(x,y)在平面有界闭区域D上有界，,将 D 任意分成 n 个无公共内点的小区域,每个小区域的面积记作,在每个小区域上任意取一点,作和式,如果上述和式的极限存在，,点Pi 的取法无关，,并且与区域 D 的分法及,则称此极限值为函数 f(x,y)在,区域 D 上的二重积分，,记作,此时也称函数 f(x,y)在区域 D 上是可积的,即,一、三重积分的概念,1.定义,设函数 f(x,y,z)在空间有界闭区域上有界，,将 任意 分成 n个无公共内点的小区域,每个小区域的体积记作,在每个小区域上任意 取一点,如果上述和式的极限存在，,并且
2、与区域的分法及,则称此极限值为函数 f(x,y,z)在,记作,此时也称函数 f(x,y,z)在区域 上是可积的,作和式,点Pi 的取法无关，,区域上的三重积分，,由定义,其中：,f(x,y,z)称为被积函数，,称为积分区域，,f(x,y,z)dv 称为被积表达式，,dv 称为体积元素，,积分和,2.函数可积的条件,可以证明：如果 f(x,y,z)闭区域 上连续，,则 f(x,y,z)在上可积,特别地：如果 f(x,y,z)1，则有,三重积分有与二重积分完全类似 的性质,二、三重积分的直角坐标计算法,故在空间直角坐标系下体积元素为：,从而在直角坐标系下三重积分可表示为,与二重积分类似，三重积分可
3、化为三次积分,进行计算,设区域 的下、上边界曲面,方程为,求积分,三次积分,注意积分区域 的特点,先关于z 积分,故,先关于x 积分,故,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所
4、围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,4,2,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,4,2,x+y+z=6,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,4,2,6,6,6,.,D,6,2,4,D,.,x+y+z=6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和 x+y+z=6所围成的区域.,例2 将 化为三次积分，,y2=x,例3 将 化为三次积分,y2=x,例3
5、将 化为三次积分,例3 将 化为三次积分,。,。,y2=x,D,例4 将 化为三次积分，,1,x+y=1,1,z=xy,.,例4 将 化为三次积分，,1,x+y=1,1,z=xy,.,例4 将 化为三次积分，,1,1,x+y=1,z=xy,.,三重积分的截面计算法,即,解,三、三重积分的柱面坐标计算法,M(x,y,z),r,N(x,y,0),x,y,z,设点 M(x,y,z)是空间任一点，,.,故点 M,(x,y,z),且有：,r,由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：,柱面坐标，记作,可以证明柱面坐标系下的体积元素为：,圆柱面；,半平面；,平 面,由前面的讨论可知：,在柱面坐标系下三重积分可表示
6、为,解,1,Dxy,1,解,1,Dxy,1,1,解,解,所围立体1在 xoy 面上的投影区域D1为：,积分区域 如图，,所围立体2在 xoy 面上的投影区域,D2为：,四、三重积分的球面坐标计算法,M(r,),r,N,y,x,z,空间任一点 M 还可用,球面坐标,由图可知直角坐标与,圆锥面；,球 面；,半平面,且,球面坐标的关系:,可以证明球面坐标系下的体积元素为:,从而在球面坐标系下三重积分可表示为,解,一、直角坐标系下,二、柱面坐标系下,三、球面坐标系下,解,例13,解(1),例13,解(2),三重积分在物理上的应用,1.空间立体的质量、重心,则立体的质量为,重心坐标为,当立体是均匀的，重
7、心也称为形心.,2.空间立体的转动惯量,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴,的奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数，,解,一、重积分的概念及性质，函数可积的条件,二、重积分的计算,1.二重积分的计算(1)直角坐标计算法,(2)极坐标计算法,2.三重积分的计算(1)直角坐标计算法,(2)柱面坐标计算法,(3)球面坐标计算法,注意 各种坐标与直角坐标的关系,三、重积分的应用,1.数学上的应用(1)平面区域的面积；,(2)空间立体的体积；(3)曲面的面积,2.物理上的应用 质量、重心、转动惯量,本章小结,注意 积分次序的选择,
