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1、1,二重积分的换元,二重积分的计算,2,定理1 设有界闭区域R是由两条光滑曲线,以及直线x=a与x=b所围成。,在R可积，且,定积分,存在，,也存在，且,则累次积分,若函数,3,若有界闭区域R是 型区域,函数,存在，且,在R可积，,存在，,则累次积分,且，定积分,4,如何利用累次积分求二重积分(以 型为例),化为先对，后对的累次积分.,首先将R投影到轴，得到闭区间，,在区间 上任取一点，关于积分，,在R内的积分限由到,然后关于从,到积分,5,例计算二重积分其中D是由直线,和双曲线 所围成，,D既是x型区域又是y型区域,6,例将二重积分 化为按不同次序,的累次积分，其中R是由上半圆周,抛物线 和
2、直线 所围成,7,五、二重积分的换元,定理2 若函数 在有界闭区域R连续，,函数组 将,平面上区域一对一地变换为xy平面上区,域R。且函数组 在,上对 与对 存在连续偏导数，,有,则,8,证明,用任意分法T将区域R分成n个小区域：,设其面积分别是,在R上有对应的分法T,它将R对应,分成n个小区域,设其面积分别是,有,9,在对应唯一一点,而,函数组在R上存在反函数组,此函数组在R上,10,一致连续，当时，,两边取极限（），有,11,例1计算曲线,所围成区域R的面积,例2计算两条抛物线 与,和两条直线与所围,成区域 的面积,与,12,例3,解,13,14,极坐标变换,面积微元,极坐标将圆域变换为矩形域.,15,注:当,即极坐,标变换将轴上的线段变换为,平面上的原点讨论闭区域,16,在区域 和 内用换元法,有,再两边对 取极限.,17,例4计算以圆域为底，,上的曲面是的曲顶柱体的体积,例5计算球体被圆柱面,所截得的那部分立体的体积,例6 计算双纽线,所围区域的面积.,18,例7 用二重积分证明概率积分,练.计算,其中D为圆域：,2.计算积分,其中D为：,
