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1、应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.4 平面及其方程,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,208页例18、例19,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用
2、数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,211页习题8,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,特别地,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,209页例20、习题7,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与
3、此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,/x 轴;,A x+C z+D=0,A x+B y+D=0,C z+D=0,A x+D=0,B y+D=0,/y 轴；,/z 轴;,/xoy 面;,/yoz 面；,/zox 面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,B y+C z=0过x轴,A x+C z=0过y轴,A x+B y=0过z轴,z=0:xoy面,X=0
4、:yoz面,Y=0:xoz 面,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.（例22）,思考；用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,特
5、别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,例3.求两平面,解:应用公式有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的,夹角.（例23）,因此,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.（例19）,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
