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1、高中数学必修(2),1.2.1 平面的基本性质(一),南京市东山外国语学校,1.平面的特点,问题:请同学们观察下面的纸盒,它 是由几个面构成的?,问题:还有哪些面留给我们平面的形象 呢?,问题:当我们想象海平面是一平如镜时,它有什么特点?,以上例子给我们“平面”的直观,平面是一个不加定义的概念,具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.,桌面、黑板、地面、海平面等.,很大、很平.,一条直线可以把平面分成两部分,我们所画的只是一条直线的一部分,因此,刚才所说的物体如果是平的,也只是它所在平面的一部分.,一个平面可以把空间分成两部分.,一个平面可以把空间分成几部分呢?,2.平面的画法,通常我们画
2、出直线的一部分来表示直线;同样地,我们也可以画出平面的一部分来表示平面.,当我们从适当的角度和距离来观察桌面或黑板面时,感到它们都很象什么图形呢?,平行四边形,通常画平行四边形来表示平面.,四面体,三个平面相交且交于一点,在画平行四边形表示平面时,所表示的平面如果是水平平面,通常把锐角画成45,横边画成邻边的两倍.,如果是非水平平面,只要画成平行四边形.,45,如果几个平面画在一起,当一个平面有一部分被另一个平面遮住时,应把被遮部分的线段画成虚线或不画.,3.平面的表示法,在一个希腊字母 的前面加“平面”二字,如平面,平面,平面 等,且字母通常写在平行 四边形的一个锐角内.,用表示平行四边形的
3、两个相对顶 点的字母来表示,如平面AC.,用三角形表示平面,用三角形三 个顶点的字母来表示,如平面ABC.,4.点、直线、平面之间的基 本关系,空间图形的基本元素是点、直线、平面,从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此,它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可以借用集合中的符号语言来表示.,【例1】已知命题:10个平面重叠起来,要比5个平面 重叠起来厚;有一个平面的长是50m,宽是20m;黑板面是平面;平面是绝对的平,没有大小、没有 厚度,可以无限延展的抽象的数学 概念.其中正确的的命题是_.,5.平面的基本性质,请大家拿出你的一把尺,如果把桌面看作一个
4、平面,把你的尺看作是一条直线的话,你觉得在什么情况下,才能使你的尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上?,公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平 面内.,图形语言:,符号语言:,公理1可以帮助我们解决哪些几何问题?,判定直线或点是否在平面内;检验平面.,【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一 点,它和这个平面有几个公共点?为 什么?,解:,这条直线和这个平面只有一个公共点.,假设这条直线和这个平面有两个公共点,根据公理1可得,这条直线上所有的点都在这个平面内,这条直线过平面外的一点也在这个平面内,故:,与已知矛盾,所以这条直线与这个平面只有一个公共点.,请大
5、家拿起一本书,把这本书的一个角放在桌面上,如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话,试问这两个平面是否就只有这一个公共点,如果还有其他公共点的话,它们和这个公共点有什么关系?,公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它 们还有其他公共点,这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.,图形语言:,符号语言:,(没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.),公理2可以帮助我们解决哪些几何问题?,判断两个平面是否相交;判定点是否在直线上.,如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条公共直线叫做这两个平面的交线.,证明:,(公理2),同理可证:,要证明空间诸点共线,通常证明这些
6、点同时落在两个相交平面内,则落在它们的交线上.,为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历,同时也有一段拄着拐杖的人生历程?在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢?,公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面.,图形语言:,符号语言:,如何理解公理3中的“有且只有一个”?,“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形惟一.,公理3可以帮助我们解决哪些几何问题?,确定平面;证明两个平面重合.,【例4】为什么用两个合页和一把锁就可以固 定一扇门,有的自行车旁只安装一只 撑脚呢?,因为不共线的三点可以确定一个平面.,答:,B,D,1,课 堂 练 习,课堂练习,4.请指出下列说法是否正确,并说明理由:空间三点确定一个平面;平面 与平面 若有公共点,就不止一个;因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在 的平面与地面不相交.,正确,不正确,当三点在一条直线上时,就不能确定一个平面.,因为平面是可以无限延展的.,不正确,5根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形,1.平面的概念、表示和记法;,课堂小结,2.空间中点、线、面位置关系的图,3.平面的三条性质及用途.,形及符号表示;,课后作业,再见!,