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1、间接证明,反证法,直接证明：,(1)综合法,(2)分析法,由因导果,执果索因,反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的思维方法：正难则反,已知：A，B，C是ABC的内角.求证：A，B，C中至少有一个 不小于60,证明：,假设 的三个内角A，B，C都小于60，,A+B+C180,反思1：,用反证法证题的一般步骤是什么？,（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。,（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,假设结论反面成立,正确推理导出矛盾
2、,否定假设肯定结论,1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？,（1）与原命题的条件矛盾；,（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；,（2）与假设矛盾。,（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。,2、你认为反证法的使用情形有那些？,反思2：,（4）与客观事实矛盾.,说明：常用的正面叙述词语及其否定：,不等于,小于或等于（）,大于或等于（）,不是,不都是,至少有两个,一个也没有,某个,某些,至少有n1个,某两个,例1用反证法证明：如果ab0，那么,我试试,例2 求证：是无理数。,假设不成立，故 是无理数。,反馈练习,假设互
3、补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,2、“已知:ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以B90.(3)假设B90.(4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180.这四个步骤正确的顺序应是()A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1),反馈练习,C,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,连结 AD、BD、BC、AC,
4、因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ADBC是平行四边形,所以,因为 ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以，对角线AB、CD均为直径，,这与已知条件矛盾，即假设不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例 1,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，即假设不成立,证法二,OPAB，OPCD，,2.已知a0，
5、证明x的方程ax=b有且只有一个根。,演练反馈,【方法总结】推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。,例4已知0a3，函数f(x)x3ax在区间1，)上是增函数，设当x01，f(x0)1时，f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0.分析要求证明存在某个对象具有某种特殊性质，而我们又无法具体地指出这个对象来，如本例，此时应考虑用反证法来解决,证明假设f(x0)x0，则必有f(x0)x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)，又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设
6、矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.,已知p3q32，求证：pq2.证明假设pq2，那么p2q，p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入得，6q212q60，即6(q1)20.由此得出矛盾pq2.,1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。,【试一试】,2、证明：,3、已知方程 2x=3，求证方程有且只有一根,【作业】P54 练习1、2 A组 3,演练反馈,1、写出下列命题，用反证法证明的第一步（1）已知a=b，则a2=b2（2）三角形最小的角小于或等于600（3）两条直线相交，只有一个交点（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交,2、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能 都是锐角三角形,
