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1、第四节 二阶常系数线性微分方程,教学内容：二阶常系数线性微分方程解的结构及解法（特征方程法，待定系数法）一.二阶常系数线性微分方程解的结构二.方程的解法特征方程法,三二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及其求解方法待定系数法,教学重点：（p,q为常数）的解法；的特解求法,教学方法：讲授与练习结合,教学难点：,的特解求法,教学手段：多媒体课件与面授讲解相结合,一一.二阶常系数线性微分方程解的结构定义1 形如（其中p,q为常数（41）的方程称为二阶常系数线性微分方程，称为自由项，特别地，当=0时，（42）称为二阶常系数线性齐次微分方程，否则称为线性非齐次微分方程。定理1 如果 是方程（42）的两个
2、解，那么 也是（42）的解，其中是任意常数。,例1验证 都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解，并说明 是原方程的通解。证：将 代入方程左端=-2e-x=e-x+e-x-2e-x=0=右端所以 y1=e-x是方程 的解同理，y2=e2x,y3=e1-x也是方程 的解由定理1可知，是原方程的解。因c1,c2不能合并为一个常数（即c1,c2是独立的）而方程 是二阶的，因此 是方程的通解；是方程的解，但=e-x(+C3e)=Ce-x(其中C=C1+C3)即 C1,C3 可合并为一个常数，因此不是方程 的通解,定理2（的解的结构）如果函数 是方程的两个线性无关（即 常 数）的特解，则 的 通解为（其中C
3、1,C2为任意常数）二.方程 的解法特征方程法由定理2可知，要想求出方程 的通解，只需求出它的两个线性无关的特解即可,设方程 的特解为：y=erx（道理阐明）由=rerx,=r2erx,代入方程，得(r2+pr+q)erx=0由erx 0 r2+pr+q=0 可见，r只要满足r2+pr+q=0，函数y=erx就是方程 的解。称方程 为方程 的特征方程设 为特征方程 的两个根。,若,则 就是 的两个线性无关的解，此时方程 的通解为若,即 r 为重根，这时得到方程 的一个解 还需求出一个与线性无关的解，即 满足 常数,于是可设 则 代入方程得：,(ii)由r为特征方程 的重根及根与余数的关系,得这
4、样,数，是方程 的两个线性无关的特解，因此方程的通解为 y=(C1x+C2)erx(iii)当p2-4q0时，特征方程 无 实根，而有一对共轭的复数根，这时,是方程的两个线性无关的特解。因此，方程的通解为：y=,例1 求+-2y=0的通解 解 特征方程 r2+r-2=0特征根为r1=1,r2=-2因此，通解为y=C1ex+C2e-2x例2 求+6+9y=0的满足y|x=0,=0,|x=0=-2的特解 解 特征方程为：r2+6r+9=0,r1=r2=-3通解为：y=(C1+C2x)e-3x=(C2-3C1-3C2x)e-3x由初始条件：y|x=0=0 得 C1=0|x=0=-2 得 C2=2因此
5、所求特解为：y=2xe-3x,例3 求解-2+5y=0 解：特征方程：r2-2r+5=0 r=1 2i通解为：y=ex(C1cox2x+C2sin2x)综上，求二阶常系数齐次微分方程步骤如下：（1）写出特征方程 r2+pr+q=0（2）求出特征根（3）按下表写出通解,三二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构 方程 f(x)（41）(f(x)的解具有下列性质定理3 设函数y是方程（4-1）的一个特解，而 是相应的齐次微分方程 0的通解，则方程（4-1）的通解为：y=y*+由此定理可得求解方程（4-1）的步骤如下（1)求相应的齐次微分方程 0的通解;（2)求 f(x)的一个特解y*;（3)写出 f(
6、x)的通解：y=+y*可见：求 f(x)通解的关键是求某一个特解y*.,下面就自由项f(x)=给出求特解的方法（特定系数法)设 的特解为：y*=Q(x)，将其代入原方程，可得(i)若 不是特征方程 的特征根，则 应为x的m次多项式，即(其中 是待定系数)。将代入方程中，比较等式两端x的同次幂系数，即可定出待定系数,从而求出,将 代入方程 中，比较等式两端x的同次幂系数，即可定出待定系数,从而求出()若 是特征方程 的单根，则 满足这样 应为x的m次多项式，因此可设方程（4-1）的特解为：使用（）所述方法，求（）若 是特征方程 的二重根，则，是x的m次多项式，可设（用上述方法确定 的系数）,综上：方程的特解：0，不是特征根（其中k=1，是特征单根 2，是二重根下面通过例题，说明如何用待定系数法求的解。例4、求 的通解。分析：,解：是单根，设代入原方程，得 比较系数，得（3）原方程通解为：,例5求 的一个特解.解：（1）（2）是特征单根，设 代入方程，得 比较系数，得（3）,小结：重点（1）的解的结构与求解方法特征方程法。（2）的求解方法待定系数法。,返回第一张幻灯片,
