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1、1,2023/8/29,6.7陪集和拉格朗日定理,陪集：设是群的一个子群，aG,则集合aH=a*b|bH,称为由a确定的H在G中的左陪集。元素aaH称为左陪集aH的代表元素。同理，Ha=b*a|bH称为由a确定的H在G中的右陪集。,2,2023/8/29,6.7陪集与拉格朗日定理,【例题】是的子群，求的所有左陪集。解答：由0确定的左陪集：0,2,4 由1确定的左陪集：1,3,5 由2确定的左陪集：0,2,4 由3确定的左陪集：1,3,5 由4确定的左陪集：0,2,4 由5确定的左陪集：1,3,5,3,2023/8/29,6.7陪集与拉格朗日定理,【例题】设G=RR,R为实数集，G上的一个二元运
2、算+定义为+=显然，是一个具有幺元的阿贝尔群。设H=|y=2x,x,y R,很容易验证是的子群。对于G,求H关于的左陪集。,4,2023/8/29,6.7陪集与拉格朗日定理,解答：H=|y=2x=|(y-y0)=2(x-x0)这个例子的几何意义：G是二维平面，H是通过原点的一条直线y=2x,陪集H是通过点且平行于H的一条直线。那么，集合H|G构成G的一个划分。,5,2023/8/29,6.7陪集性质,定理设是群的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么aH=bH或aHbH=。证明：假设aHbH,则存在元素h1H,h2H使得a*h1=b*h2=c。则有a=b*h2*h1-1。任取xaH,存在h
3、3H,使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3),6,2023/8/29,6.7陪集性质,而h2*h1-1*h3H,所以xbH。因此,aH bH。同理可以得到bH aH。这样，可以得到aH=bH。又aH和bH都是非空集合，aH=bH或aHbH=不可兼得。所以定理得证。,7,2023/8/29,6.7陪集性质,定理设是群的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么|aH|=|bH|=|H|。证明：aG,对于H中任意元素h1,h2 H,若h1h2,则必有 a*h1a*h2所以|aH|=|H|。同理也有|bH|=|H|。,8,2023/8/29,6.7陪集性质,定理设是群的一个子群，a,bG,a
4、H是由a确定的H在G中的左陪集。baH当且仅当a-1*bH。证明：baH当且仅当存在hH,使得a*h=b,即h=a-1*bH。,9,2023/8/29,6.7拉格朗日定理,定理(拉格朗日定理)设是群的一个子群，那么有(1)R=|aG bG a-1*b H是G中的等价关系，且有aR=aH。(2)若G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。证明：(1)(i)(证明R是自反的)任取aG,则a-1G,可得 a*a-1=e H因此R，R是自反的。,17361813,10,2023/8/29,6.7拉格朗日定理,(ii)(证明R是对称的)若R,则a-1*bH。因为是的子群，则有(a-1*b)-1H,即
5、b-1*a H,即R。因此R是对称的。(iii)(证明R是传递的)若 R,R,则a-1*bH,且b-1*cR。因此有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c R所以 R。因此R是传递的。,11,2023/8/29,6.7拉格朗日定理,由(i)、(ii)、(iii)可知，R是G上的一个等价关系。(2)由于R是G上的一个等价关系，所以必将G划分成不同的等价类a1R,a2R,akR，使得 G=又因为|aH|=|H|=m，故有n=|G|=|=k|H|=km即m|n。,12,2023/8/29,6.7拉格朗日定理的推论,推论1任何质数阶的群没有非平凡子群。这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定
6、是原来群阶的一个因子，这与原来群的阶是质数相矛盾。推论2设是n阶有限群，那么对于任意aG,a的阶数必是n的因子,并且an=e。证明：设a是G中任意元素，以a为生成元生成的循环群为 H=ai|iI,13,2023/8/29,6.7拉格朗日定理的推论,显然是的一个子群。设|H|=m(mI,m0)，根据拉格朗日定理，可知n=mk，kI+。根据循环群的性质有am=e 且H=a,a1,am-1,e证毕。因为质数阶群只有平凡子群，所以质数阶群必定是循环群。必须注意，群的阶与元素阶的概念区别。,14,2023/8/29,6.7拉格朗日定理的推论,推论3一个质数阶的群必是循环群，并且任何与幺元不同的元素均可作为生成元。,
