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1、2023年8月29日星期二,1,第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数,第二章,三、相关变化率,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,四、小结与思考题,2023年8月29日星期二,2,一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),2023年8月29日星期二,3,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=
2、0 时 y=0,故,确定的隐函数,例1 求由方程,2023年8月29日星期二,4,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例2 求椭圆,2023年8月29日星期二,5,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,例3 求,2023年8月29日星期二,6,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,注意:,说明:,2023年8月29日星期二,7,例如,两边取对数,两边对 x 求导,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,2023年8月29日星期二,8,对 x 求导,两边取对数,又如,2023年8月29日星期二,9,二、由参数方程所确定的函数的导数,（Deriva
3、tive of Function Determined by Parametric Equation）,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,关系,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),2023年8月29日星期二,10,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,若上述参数方程中,2023年8月29日星期二,11,点击图中任意点动画开始或暂停,2023年8月29日星期二,12,解：,2023年8月29日星期二,13,而,所以，,于是所求切线方程为,即,2023年8月29日星期二,14,解：,2023年8月29日星期二,15,确定函
4、数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,例6 设由方程,2023年8月29日星期二,16,三、相关变化率,（Related Rates of Change）,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,2023年8月29日星期二,17,解：,2023年8月29日星期二,18,2023年8月29日星期二,19,由(2)可得,2023年8月29日星期二,20,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则
5、,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,2023年8月29日星期二,21,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,2023年8月29日星期二,22,课后练习,习题2-4 1（2）（4）；3；5（2）（4）；6（2）；7；10,思考与练习,答案:,2023年8月29日星期二,23,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,2.设,2023年8月29日星期二,24,试求当容器内水,自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,3.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,现以,2023年8月29日星期二,25,考研真题,2023年8月29日星期二,26,
