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1、第五节 隐函数求导法,一.一个方程的情形,在一元函数微分学中,我们接触过隐函数,学习过由方程F(x,y)=0(1)所确定的隐函数的求导方法(两边对x求导).但是形如(1)式的方程并不一定都能确定一个一元函数y=f(x),例如方程 x2+y2+1=0 不能确定任何实函数y=f(x),(y2=-1-x2)因而,有必要讨论一下F(x,y)满足什么条件时,(1)式能确定,一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y)的具体表达式,才能求出y对x的导数.下面我们研究隐函数存在定理,隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,F
2、y(x0,y0)0;则方程(1)在(x0,y0)的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有,利用多元复合函数的求导法则给于推导.把方程(1)所确定的函数y=f(x)代入(1),得Fx,f(x)=0.由定理的条件知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到,定理证明从略.,函数F(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0,若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到yxx,例2 求由方程2x2+y2=1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数.,例3 若y=G(x+y),G有二
3、阶连续导数,求yxx,隐函数存在定理1可以推广到三元及三元以上函数的情形,现在给出F为三元函数时,与定理1的类似结论.,数,且 F(的函数z=f(x,y),它满足条件,与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求x,y的偏导数.得到,由于Fz连续,且,)的某一邻域内具有连续的偏导,的某一邻域内能唯一确定一个单值连续的偏导数,)0则方程F(x,y,z)=0在,)=0 Fz(,且有,设函数F(x,y,z)在点,与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求x,y的偏导数.得到,由于Fz连续,且,隐函数存在定理2:设函数F(x,y,z
4、)在点(x0,y0.z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件Z0=f(x0,y0),并且有,Fz(x0,y0,z0)0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域内Fz 0于是,例4 设x2+y2+z2=4z,求,例5设z为由方程F(z/x,z/y)=0所确定的x,y的函数,其中F(u,v)为可微,二.方程组的情形,函数,求,隐函数存在定理3.设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点p(x0,y0,u0,v0)的某一邻域
5、内具有对各变量连续的偏导数,又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏导数组成的函数行列式(Jaqcobi)在点p(x0,y0,u0,v0)处不为0,则方程组F=0,G=0在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内一定能确定一组单调,连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有,推导F(x,y,u(x,y),v(x,y)=0 和 G(x,y,u(x,y),v(x,y)=0(1)两边对x求偏导数,得到,公式的记忆方法,如求,分子把u换成x,其它不动,如求,分子把v换成x,其它不动,行
6、列式的定义为,例2 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数,又,(1)证明方程组,在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)(2)求反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数.解(1)把方程组(7)改成下面的形式,(7),F(x,y,u,v)=x-x(u,v)=0G(x,y,u,v)=y-y(u,v)=0,(2)把方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得到,由隐函数存在定理3,我们得到结果.,则按假设我们有,例1,解:把u,v看成x,y的函数,对方程的两边对x求导,我们得到,把所给方程的两边对y求导,用同样的方法在J=x2+y20的条件下可得到,把上述恒等式两边分别对x求偏导数,得到,有些求偏导数的题目既涉及到复合函数,又涉及到隐函数.例3 设u=x3 y2z2,其中z是由方程x3+y3+z3-3xyz=0确定的隐函数z=z(x,y),求ux,解:,
