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1、第六节 隐函数的偏导数,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、一个方程的情形,定理9.8 设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还有,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域内，,唯一确定了一个有连续导数，且当,解:令,连续,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,练习 设方程,确定了,的函数，求,定理9.9
2、,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,的偏导数,解 令,从而,则,例3.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例4.,设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,二、方程组的情形,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(J
3、acobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,定理9.10,的某一邻域内具有对各个,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内恒能唯一确定一组满足条件,满足:,变量的连续偏导数；,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,同样可得,例5.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,答案:,由题设,故有,例6.设函数,在点(u,v)的某一,1)证明函数组,(x,y)的某一邻域内,2)求,解:1)令,对 x,y 的偏导数.,在与点(u,v)对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对 x 求导,得,则有,由定理 3 可知结论 1)成立.,2)求反函数的偏导数.,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式,思考与练习,设,求,
