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1、2 隐函数组,隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换,一、隐函数组概念,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,例如,方程组,隐函数组在 D 上成立恒等式：,二、隐函数组定理,其中,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,例.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,由题设,故有,类似地可计算:,答案:,三、反函数组与坐标变换,设函数组,是定义在 x y 平面点集 B 上的两个函数，其值域为,若对每一点,都有唯一确定的点,与 u,v 一起满足方程组，由此产生,上的一个函数组：,称方程组为方程组的反函数组.,它们满足：,定义在,反函数组的存在
2、性问题，是隐函数组存在性,反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性,应用定理 18.4，可得下述定理：,问题的一种特殊情形，将方程组改写成,反函数组的存在性,例2:直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为,所以，除原点外,由于,从而，除原点外，在一切点上由函数组：,可确定一反函数组：,例3:直角坐标与球坐标之间的坐标变换公式为,由于,所以，在,即除去 z 轴上的一切点，,方程组,可确定一反函数组：,例.设函数,在点(u,v)的某一,1)证明函数组,(x,y)的某一邻域内,2)求,解:1)令,对 x,y 的偏导数.,在与点(u,v)对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续
3、偏导数的反函数,式两边对 x 求导,得,则有,由定理 3 可知结论 1)成立.,2)求反函数的偏导数.,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,例:计算极坐标变换,的反变换的导数.,同样有,所以,由于,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式,思考与练习,设,求,提示:,解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,由d y,d z 的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.设,解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得,(2001考研),解得,因此,2.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得,(99考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,
