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1、饮酒驾车,建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型 团队成员：魏凤佳、邵娟娟、张程,题 目,据报导，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接
2、着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？,问 题,1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1)酒是在很短时间内喝的；2)酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？,参考数据,1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2
3、.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：,假 设,1.假设喝啤酒后，啤酒中的酒精全部进入胃肠（含肝脏），然后经过胃肠渗透到体液。2.假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度（或含量）成正比。3.假设体液中的酒精消耗（向外排出、分解或吸收）的速度，与体液中的酒精浓度（或含量）成正比。4.对问题一，假设大李在下午6点接受检查，之后由于停车、等待等原因耽误了一定时间T0（这里不妨设T0=0.5小时），即大李第一次检验到第二次喝酒之间间隔为半小时。5.对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时
4、间耽搁。6.假设酒在很短时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。7.假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去。8.假设体液的密度为1千克/升.,一个人血中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。有科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进入体液的，酒精从胃肠（含肝脏）向体液转移情况如图所示：f(t)k12 k21 k11,胃 肠,体液,图1,返回,返回,符号说明:,k11：酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数;k12：酒精从胃肠进入体液的速率系数；k21：酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；f(t):酒精进入胃肠的速率；
5、x：胃肠中的酒精含量；y：体液中的酒精含量；a：每瓶酒中的酒精含量；N：饮酒的瓶数；V：人体体液的体积；t：时间；,对问题一建立模型及求解,一：建立模型 根据假设的条件及图1可以看出：x1(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精-k11x1和从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的酒精-k12x1组成；y1(t)的变化率是由从胃肠进入体液的酒精k12x1与体液中消耗（向外排出、分解或吸收）的酒精-k21y1组成。所以，可以建立以下微分方程：,(1),返回,如图,1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时胃肠中的酒精量x1（0）为一瓶酒中的酒精a与饮酒瓶数N的乘积，而此时体液中的酒精量y1(0)为零，
6、所以初始条件为：体液中酒精浓度为：求出N=1时 的值，判断c(6)20是否成立,(3),返回,(2),2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量x2(0)为N瓶酒中的酒精质量Na与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1（T1)之和，而此时体液中的酒精质量y1(0)为第一次喝酒后残留在体液中的酒精质量y1(T1)。因此大李第二次喝酒的模型如下：根据题意判断 是否成立。,二.对问题一求解,微分方程：（4）是可分离变量的微分方程，（5）是一阶线性非齐次微分方程，通过求解，得出它满足初始条件：,-（4）-（5）,上述方程的特解为：，令，,根据题目所给的饮两瓶酒
7、的数据，此时N=2，据高斯-牛顿算法可得：，利用非线性最小二乘法拟合见图2.,0 2 4 6 8 10 12 14 16,t,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,图2,将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午12点饮一瓶啤酒，即N=1时，到下午6点第一次检查时体液中的酒精含量(即血液中的酒精含量)：,所以大李通过 第一次检查。大李第二次喝酒模型的方程解为：,考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了一定时间，假设大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔05小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：202448(毫克百毫升)。这就解释了大李在第一
8、次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。,问题二,在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下答：1）酒是在很短时间内喝的 短时间内喝下的模型，已在问题一中得到求解，即向上述两式中代入具体数据得喝三瓶啤酒需12.25小时，半斤白酒需13.6小时内驾车就会违反新标准。,问题二:,(2)在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。问题二（2）的分析：对于第二问，x(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精 k12x，从胃肠
9、渗透到(除体液外)其它地方的酒精-k11x以及酒精进入胃肠的速率f(t)组成。y(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精k12x与在体液中消耗(向外排出、分解或吸收)的酒精-k21y组成。在饮酒期间(0tT).假设酒精进入胃肠的速度是匀速的，则酒精进入胃肠的速率为f(t)=Na/T，饮酒后，无酒精进入胃肠，所以f(t)=0，因此，建立微分方程模型如下：,如图,因在t=0时胃肠中的酒精质量 x(0)和体液中的酒精质量 y(0)都为零。故初始条件为体液(或血液)中酒精的浓度为：问题二即求满足 f(t)20的时间t范围,在一个较长时间内喝下的微分方程中，f(t)是个分段函数，所以需要分段求解，我们将其转
10、化为两个微分方程：,微分方程组(6)的解为：微分方程组(7)的解为：,再代入具体参数值进行计算可得多少时间内驾车违反新规定，列表如下：,问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高?,问题三分为两种情况：第一种情况是酒在很短的时间内喝的，第二种情况是酒在较长一段时间内喝的。第一种情况：酒在很短的时间内喝的，要求血液中酒精含量最高的时间，即求体液中酒精含量函数 y(t)的最值点。用极值与最值的关系，因最值存在，且驻点唯一，故可通过求解驻点得到。即求满足y(t)=0的时间t。其中 y(t)满足以下微分方程(1)及初始条件(2)，(3)。,初始条件（2）（3）,方程（1）,第一种情况是酒在很短的时
11、间内喝下的，在问题一中已经求得结果：,令y=0，可得可见无论喝多少酒，体液中酒精的含量达到最高所用的时间均为1.3255小时,2,4,6,12,8,14,10,16,1,0,8,9,6,7,10,5,4,3,2,10,9,10,8,9,10,7,8,9,10,5,7,8,9,10,6,5,7,8,9,10,4,6,5,7,8,9,10,3,4,6,5,7,8,9,10,2,3,4,6,5,7,8,9,10,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10
12、,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,14,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,16,14,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,问题三 估计血液中酒精含量什么时间内最高第一种情况：酒是在很短的时间内喝完的第二种情况：酒是在很长的一段时间内喝完的,酒精在人体内的代谢图,酒精进入人体后的代谢情况、f(t)k12 k21
13、 k11,问题四,问题三,胃肠,体液,其中,初始条件为：x(0)=0，y(0)=0,返回,模型三求解：,酒是在较长的时间内喝的，体液中酒精含量的表达式为分段函数。,0tT,Na,酒精含量在什么时间内最高？则,喝酒的时间Ti（i=1,2、8）,t,1,2,3,4,5,6,7,8,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,c,图中点组成的图形表示持续喝酒时体液中酒精含量的变化，曲线表示喝完酒后体液中酒精含量的变化,问题四：如果天天喝酒，是否还能继续开车设：每天喝酒N瓶，第i次饮酒与第i+1次饮酒的时间间隔为Ti？与问题一相似！,返回,第二天体液中酒精含量的微分方程,第N天体液中酒精含量满足微分方程,求出,模型四求解：,根据 表达式均为等比数列，通过求极限使模拟结果尽可能的接近现实,假设：司机的体重为70kg,每天喝一次酒，每次喝酒时间固定，且短时间内喝完，每天喝的酒量一致，将数值代入表达式可得：,Thank You!,
