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1、第一章,第三节,极限运算,一、极限的四则运算法则,三、两个重要极限,四、无穷小的比较,二、复合函数的极限运算法则,一、极限的四则运算法则,则有,证:因,则有,(其中,为无穷小),于是,由无穷小之和仍无穷小，可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立.,定理 1.若,定理 2.若,则有,提示:利用极限与无穷小关系定理证明.,说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),证:,例1.求,例2.设 n 次多项式,试证,证:,1.多项式型,为无穷小,定理 3.若,且 B0,则有,证:因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,
2、由极限与无穷小关系定理,得,为无穷小,注 1.以上结论均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;,2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.,定理,例4.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,若,例3.求,2.分母极限不为0型,例如.,x=3 时分母为 0!,例5.,分子也为0,3.型,约去公因子,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例6,约去公因子法也不能用,4.利用无穷小、无穷大运算性质求极限,但因,解:(4)x=3 时,分母=0,分子0,但因,解:(3)x=1 时,分母=0,分子0,例7,解,例8求,解:原式,
3、(消去零因子法),5.,例9.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,(无穷小因子分出法),为非负常数),一般有如下结果：,=0,6.型,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.,定理4.若,则有,提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由,定理3,4,5 直接得出结论.,解,例10,原式,=,=,=,=,2,7.无穷项之和,不能用和的极限运算法则,例11,解,左右极限存在且相等,8.利用左右极限求分段函数极限,二、复合函数的极限运算法则,例12.求,解:法1,时,则,法2,时,则,换元法：将原式中的x都用u代替，将关于x的极限过程改为关
4、于u的极限过程。,定理5.设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理5.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,例13.求,解:令,已知,原式=,例14.求,解:法 1,则,令,原式,法 2,时,时,例15：设,(n=1,2,)，,试证数列 极限存在，并求此极限。,证：由,及,知,设对某正整数k有,则有,故由归纳法，对一切正整数n，都有,即,为单调减少数列，且,解得,所以,例16,设,，证明,存在并求此极限；,证明:,(2),消去零因子法,1.极限四则运算法则,2.求函数极限的方法,(3)对,型,约去公因子,分子分母同除分母最高次幂,Th1,Th2,Th3,Th4,总结,作业P33习题1-3中第1题,(4)型,(无穷小因子分出法),(5)无穷项之和,变形后求极限,(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限,(7)利用左右极限求分段函数极限,(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限,(8)复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,
