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1、续 二阶常系数线性微分方程,特征方程,特征根,一、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为,由求根公式,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：,由线性方程解的性质：,3)特征方程有一对共轭复根：,是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,解,解,解,故所求特解为,解,取 x 轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（
2、恢复力与运动方向相反）,由牛顿第二定律，得,记拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,二、n 阶常系数齐线性微分方程,解,在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此方程的通解。,解,三、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数 f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。,方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为,由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,方程(2)有下列形式的特解:,方程(2)有下列形式的特
3、解:,当二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,综上所述，原方程的通解为,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,解,代入上述方程，得,比较系数，得,故,从而，原方程有一特解为,解,对应的齐次方程的通解为,将它代入此方程中，得,从而，原方程有一特解为,故原方程的通解为,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,四、欧拉方程,关于变量 t 的常系数线性微分方程。,解,这是三阶欧拉方程，,作代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程(1)对应的齐方程的通解为,为方程(1)特解形式，代入方程(1)中，得,从而,故原欧拉方程的通解为,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A=1,所求通解为,例3.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考:如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,
