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1、3.4 文克勒地基上梁的计算,3.4.1 无限长梁的解答1.微分方程式,*,1,根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：,由梁的微单元的静力平衡条件M=0、V=0得到：,*,2,将式（3-9）连续对坐标x取两次导数，便得：,对于没有分布荷载作用（q=0）的梁段，上式成为：,上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。,*,3,采用文克勒地基模型时，,根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠度：s=w，,上式即为文克勒地基上梁的挠曲微分方程。,*,4,称为梁的柔度特征值，量纲为l/长度，其倒数1/称为特征长度。值与地基的基床系数和梁的抗弯刚度有关，值愈小，则基础的相对刚度愈大。,上式是四阶常系
2、数线性常微分方程，可以用比较简便的方法得到它的通解：,式中C、C、C和C为积分常数,*,5,2.集中荷载作用下的解答,(1)竖向集中力作用下,边界条件：当x时，w0。将此边界条件代入上式，得C=C=0。于是，对梁的右半部，上式成为：,对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3C4=0。令C3=C4=C，则上式成为,*,6,静力平衡条件：再在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=F0/2，由此得C=F0/2kb。,F0,+V,符号规定,*,7,将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：,对F0左边的截面（x
3、0），需用x 的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正负号不变，但q 和V则取相反的符号。,*,8,（2）集中力偶作用下,当x时，w0，C=C=0。,当x=0时w=0，所以C3=0。,M0,M0/2,在右侧截面有M=M0/2，由此得C4=M02/kb，于是,+M,符号规定,*,9,求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：,当计算截面位于M0的左边时，上式中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而q 和V的符号不变。,*,10,多个集中荷载作用：,注意在每一次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处。,*,11,3.4.2 有限长梁的计算,对于有限长梁，有多种方法求解。这里
4、介绍的方法是以上面导得的无限长梁的计算公式为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答，其原理如下。,附加荷载FA、MA和FB、MB称为梁端边界条件力。,*,12,设外荷载在梁A、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、Va及Mb、Vb，则,*,13,解上述方程组得：,*,14,当作用于有限长梁上的外荷载对称时，Va=-Vb，Ma=Mb，则式（3-24）可简化为：,*,15,计算步骤归纳如下：,（1）按式（318）和式(3-21)以叠加法计算已知荷载在梁上相应于梁两端的A 和B截面引起的弯矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb;,（2）按式（3-24）或（3-25）计算梁端边界条件力F
5、A、MA和FB、MB；,（3）再按式（3-18）和（3-21）以叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁上相应于梁所求截面处的w、q、M和V值。,*,16,3.4.3 地基上梁的柔度指数,在梁端边界条件力的计算公式式（3-24）中，所有的系数都是ll 的函数。ll 称为柔度指数，它是表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值。当ll 0 时，梁的刚度为无限大，可视为刚性梁；而当ll 时，梁是无限长的，可视为柔性梁。,l/4 短梁（刚性梁）/4 l 有限长梁（有限刚度梁）l 长梁（柔性梁）,*,17,对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化方法计算；对长梁，可利用无限长梁或半无限长梁的
6、解答计算。在选择计算方法时，除了按ll值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。对于柔度较大的梁，有时可以直接按无限长梁进行简化计算。,例如，当梁上的一个集中荷载（竖向力或力偶）与梁端的最小距离x/时，按无限长梁计算w、M、V的误差将不超过4.3；而对梁长为/，但荷载作用于梁中部的梁来说，只能按有限长梁计算。,x/,/,*,18,3.4.4 基床系数的确定,根据式（3-1）的定义，基床系数k可以表示为：k=p/s（3-26）由上式可知，基床系数k不是单纯表征土的力学性质的计算指标，其值取决于许多复杂的因素，例如基底压力的大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载影响等。因此，严格说来
7、，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难于准确预定的。,*,19,（1）按基础的预估沉降量确定 对于某个特定的地基和基础条件，可用下式估算基床系数：k=p0/sm（3-27）式中 p0基底平均附加压力；sm基础的平均沉降量。,对于厚度为h的薄压缩层地基，基底平均沉降sm=zh/Esp0h/Es，代入式（3-27）得 k=Es/h（3-28）式中 Es土层的平均压缩模量。,如薄压缩层地基由若干分层组成，则上式可写成（3-29）式中 hi、Esi第i层土的厚度和压缩模量。,*,20,（2）其他方法（载荷试验、表格法等）,基 床 系 数 k 值,*,21,基床系数k的取值对计算结果的影响：
8、在常用k 值范围内（k 0.150MN/m3），对弯矩影响不大，但对基础沉降影响很大 参见例题3-1（4）。,*,22,例图3-1中的条形基础抗弯刚度EI=4.3103 MPam4，长l=17m，底面宽b=2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计算基础中点C处的挠度、弯矩和基底净反力。,例题3-1,*,23,【解】（1）确定基床系数k设基底附加压力p0约等于基底平均净反力pj：,以下步骤自看。例题3-2自看。,习题3-2,*,24,3.6 柱下条形基础,柱下条形基础是常用于软弱地基上框架或排架结构的一种基础类型。它具有刚度大、调整不均匀沉降能力强的优点，但造价较高。因此，在一般情况下，柱
9、下应优先考虑设置扩展基础，如遇下述特殊情况时可以考虑采用柱下条形基础：,（1）当地基较软弱，承载力较低，而荷载较大时，或地基压缩性不均匀（如地基中有局部软弱夹层、土洞等）时；（2）当荷载分布不均匀，有可能导致较大的不均匀沉降时；（3）当上部结构对基础沉降比较敏感，有可能产生较大的次应力或影响使用功能时。,*,25,3.6.1 构造要求,肋梁高度不宜太小，一般为柱距的1/81/4，并应满足受剪承载力计算的要求。,当柱荷载较大时，可在柱两侧局部增高（加腋），如图2-6b所示。,*,26,一般肋梁沿纵向取等截面，梁每侧比柱至少宽出50mm。当柱垂直于肋梁轴线方向的截面边长大于400mm时，可仅在柱位
10、处将肋部加宽。,翼板厚度不应小于200mm。当翼板厚度为200250mm时，宜用等厚度翼板；当翼板厚度大于250mm时，宜用变厚度翼板，其坡度小于或等于1:3。,*,27,为了调整基底形心位置，使基底压力分布较为均匀，并使各柱下弯矩与跨中弯矩趋于均衡以利配筋，条形基础端部应沿纵向从两端边柱外伸，外伸长度宜为边跨跨距的0.250.30倍。当荷载不对称时，两端伸出长度可不相等，以使基底形心与荷载合力作用点重合。但也不宜伸出太多，以免基础梁在柱位处正弯矩太大。,*,28,考虑到条形基础可能出现整体弯曲，且其内力分析往往不很准确，故顶面的纵向受力钢筋宜全部通长配置，底面通长钢筋的面积不应少于底面受力钢
11、筋总面积的1/3。,*,29,翼板的横向受力钢筋由计算确定，但直径不应小于10mm，间距100200mm。非肋部分的纵向分布钢筋可用直径810mm，间距不大于300mm。其余构造要求可参照钢筋混凝土扩展基础的有关规定。柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。,*,30,3.6.2 内力计算,计算方法,简化计算法,弹性地基梁法,静定分析法（静定梁法）,倒梁法,假定上部结构刚度很小,假定上部结构刚度很大,*,31,1.简化计算法,基底反力为直线（平面）分布。,为满足这一假定，要求条形基础具有足够的相对刚度。当柱距相差不大时，通常要求基础上的平均柱距lm应满足下列条件：,假设,*,32,由于静定
12、分析法假定上部结构为柔性结构，即不考虑上部结构刚度的有利影响，所以在荷载作用下基础梁将产生整体弯曲。与其他方法比较，这样计算所得的基础不利截面上的弯矩绝对值可能偏大很多。,静定分析法,*,33,倒梁法,这种计算方法只考虑出现于柱间的局部弯曲，而略去沿基础全长发生的整体弯曲，因而所得的弯矩图正负弯矩最大值较为均衡，基础不利截面的弯矩最小。,在比较均匀的地基上，上部结构刚度较好，荷载分布和柱距较均匀（如相差不超过20%），且条形基础梁的高度不小于1/6柱距时，基底反力可按直线分布，基础梁的内力可按倒梁法计算。,*,34,当条形基础的相对刚度较大时，由于基础的架越作用，其两端边跨的基底反力会有所增大
13、，故两边跨的跨中弯矩及第一内支座的弯矩值宜乘以1.2的增大系数。,需要指出，当荷载较大、土的压缩性较高或基础埋深较浅时，随着端部基底下塑性区的开展，架越作用将减弱、消失，甚至出现基底反力从端部向内转移的现象。,*,35,柱下条形基础的计算步骤如下：（1）确定基础底面尺寸,将条形基础视为一狭长的矩形基础，其长度l主要按构造要求决定（只要决定伸出边柱的长度），并尽量使荷载的合力作用点与基础底面形心相重合。,当轴心荷载作用时，基底宽度b为：,当偏心荷载作用时，先按上式初定基础宽度并适当增大，然后按下式验算基础边缘压力：,pkmax,*,36,（2）基础底板计算柱下条形基础底板的计算方法与墙下钢筋混凝
14、土条形基础相同。在计算基底净反力设计值时，荷载沿纵向和横向的偏心都要予以考虑。当各跨的净反力相差较大时，可依次对各跨底板进行计算，净反力可取本跨内的最大值。,（3）基础梁内力计算计算基底净反力设计值沿基础纵向分布的基底边缘最大和最小线性净反力设计值可按下式计算：,*,37,内力计算当上部结构刚度很小时，可按静定分析法计算；若上部结构刚度较大，则按倒梁法计算。,采用倒梁法计算时，计算所得的支座反力一般不等于原有的柱子传来的轴力。,若支座反力与相应的柱轴力相差较大（如相差20%以上），可采用实践中提出的“基底反力局部调整法”加以调整。此法是将支座反力与柱子的轴力之差（正或负的）均匀分布在相应支座两侧各三分之一跨度范围内（对边支座的悬臂跨则取全部），作为基底反力的调整值，然后再按反力调整值作用下的连续梁计算内力，最后与原算得的内力叠加。经调整后不平衡力将明显减小，一般调整12次即可。,*,38,例题3-3、例题3-4自看。2.弹性地基梁法,*,39,
