《邓美愉6月.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《邓美愉6月.ppt（28页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、鄧美愉2011年6月,球體體積,課程的要求,理解及運用公式計算和球形的體積,實驗方法,倒沙/水圓柱體體積=球體體積球體體積=(r2)(2r)=,r3,疑問,除微積分外，如何向學生解釋球體體積公式?在中國歷史上，何時出現球體體積公式?,I.球體體積公式九章算術卷第四 少廣篇,原文二三今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？答曰：二十尺。開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。,即,？,4500立方尺,如何求得球體體積?如何求圓的面積?,九章算術如何得球體體積,方法1:用實物測量方法,徽注：黃金方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。,由此，球體體積=,1寸,九章算術如何得球體體積,
2、劉徽由圓面積及正方形面積的率作解釋,圓面積：正方形面積 3：4,方法2:圓面積與正方形面積之關係 截面原理,九章算術卷第一 方田篇,原文三一今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何。術曰：半周半徑相乘得積步。又術曰：周徑相乘，四而一。又術曰：徑自相乘，三之，四而一。又術曰：周自相乘，十二而一。,譯文三一現有圓形田，圓周為30步，直徑為10步，問田的面積是多少？答：75平方步。算法一：以圓周之半與半徑相乘可得到圓田的面積，即 換言之，即算法三：直徑與直徑相乘，乘以3除以4，即 換言之，即,10步,30步,九章算術如何得球體體積,徽注:為術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分
3、之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分之九也。,由截面原理 圓柱體體積：正方體體積=圓面積：正方形面積 3：4,球體體積：圓柱體體積 9：12=3：4,球體體積：立方體體積=9:16,3 3：3 4,九章算術如何得球體體積,由截面原理 圓柱體體積：正方體體積=圓面積：正方形面積 3：4,球體體積：圓柱體體積 9：12=3：4,球體體積=,截面原理,-幾何體為面疊積而成,II.劉徽之牟合方蓋,劉徽表示：以周三徑一為圓率，則圓冪傷少，令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸傷多耳。劉徽指出應為 牟合方蓋
4、體積：球體體積=正方形面積：圓面積=4：3即是,II.球體體積公式 劉徽之牟合方蓋,什麼是牟合方蓋?,劉徽為何以牟合方蓋求球體體積?,圓與正方形四邊相切,劉徽為何以牟合方蓋求球體體積?,先前 以圓柱為方率，渾丸為圓率 即圓柱體體積：球體體積=4：3,圓體之外應套入一個個處處切合之方蓋,正如圓錐體,如何求與球體處處切合之方蓋?,兩處相切,圓柱體,圓柱體,四處相切,牟合方蓋,球體體積:牟合方蓋體積=:4,因為 圓面積：正方形面積=:4,III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積,南北朝數學家祖冲之、祖暅父子綴術 冪勢既同，則積不容異。立於平面上的同高立體，若於同一高度所取 截面面積總是相等，則它們的體積
5、相同,III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積,h,r,紅色面積=r 2 h 2,黃色面積=r 2(r 2 h 2)=h 2,r,h,藍色面積=h 2,=黃色面積！,III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積,+,=,+,=,r 3,=,牟合方蓋體積,牟合方蓋體積,牟合方蓋體積,因此，球體體積,h,黃色部分面積=,r,r,IV.利用祖暅原理求球體積的另一證法,紅色部分面積=,由祖暅原理，得半球體體積=圓柱體體積 圓錐體積=,球體體積=,h,http:/www.mathland.idv.tw/,教學資源,http:/,參考資料,中國古代數學簡史。李儼、杜石然(2000)。九章出版社。九章算術及其劉徽注研究李繼閔(1992)。九章出版社。Journey Through Genius-The Great Theorems of Mathematics.(1990)William Dunham.John Wiley&Sons.數學教育20期.(2005).“自製教具驗證證球體表面面積及體積公式”數學教育24期.(2006).“化圓為方-球體體積與牟合方蓋”.,
