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1、是 维调和函数（即满足方程），,设（其中）,p.77:1.6.9.,第三章 调和方程,1 建立方程、定解条件,试证明,其中 为常数。,福州大学数学与计算机科学学院江飞:,作业：,证,（对于某个常数）,若 则,若 则,6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板 上的稳定温度分布：,解,令 代入方程，得,问题有零解,再由一对齐次边界条件 得,由此得边值问题,由第一章讨论知，仅当 时，以上,又,其通解为,所以,由另一对边值条件，得,由此得,解得,代入 的表达式得,变分问题的提法为：求 使,9.设,试导出与此变分问题等价的边值问题，并证明它们的等价性。,解,令,则,即,因此，如果
2、 则,从而,（变分学基本引理），并且,类似变分学基本引理的证明过程，我们同样有,即,综上即知：若 满足变分问题,则 满足下列初边值问题,为了证明上述两个问题等价性，我们还需证明初边值问题的解也是变分问题的解。,令 是上述初边值问题的解，令，用,乘以 并利用分部积分公式及边值条件可得,则通过简单计算可得,等号成立仅当,结果我们就证明了：,如果,则,2.若函数 是单位圆上的调和函数，又它在单位圆周上的数值已知为,其中 表示极角，问函数 在原点之值等于多少？,2 格林公式及其应用,解 调和函数在圆周上的算术平均值，即,p83:2.3.4.5.,3.如果用拉普拉斯方程式表示平衡温度分布函数所满足的方程
3、，试阐明诺伊曼内问题有解的条件 的物理意义。,解,描述稳恒温度场；,描述流过边界的热量；,描述流过边界面的总热量为零，即由边界面流出的热量和流入边界面内的热量是相等的，只有这样温度才可能稳定，即诺伊曼问题才可能有解。,4.证明当 在闭曲面 的外部调和，并且在无穷远处成立着,对于外区域情况仍然成立。,而 是 外的任一点，则公式(2.6)仍成立。,由有界区域情况的公式（2.6）知,首先由余弦定理可得,故,*下面分析在曲面 上的积分，记为,利用已知条件我们可以得到下列估计,其中 表示某个正常数。,故,5.证明调和方程狄利克雷外问题的稳定性。,故,设,注意,综上即知,注意,3 格林函数,证,p.94-
4、95:1.8.9(1).10,1.证明格林函数的性质3及性质5,*性质3 在区域 内成立着不等式,注意到,注意,由极值原理知，,令 即,由极值原理知，,注意,从而,即,*性质5,注意,显然边值问题,的解为,代入上述积分表达式即有,8.证明如果三维调和函数 在奇点处附近能表示为,，其中常数，是不为零的光滑函数，,则此时它趋于无穷大的阶数必与 同阶，即。,证 若，由题意可知,注意,9.试求一函数，在半径的圆的内部是调和的，而且在圆周上取下列的值：,其中为常数。,记 计算,（1）,注意,注意,所以,注意,又由于在圆的边界上取常数1的调和函数，在圆内必恒等于1，故,所以,即,注意,10.试用静电源法导
5、出二维调和方程在半空间的狄利克雷问题：,的解。,注意,注意,所以,即,注意,2.利用极值原理及强极值原理证明当区域 的边界 满足定理2中的条件时，调和方程第三边值内问题,证 只须证明,只有零解。,设 是 上的非常数的连续函数，必然达到其最大值和最小值。由极值原理知 必在边界 上达到其最大值和最小值。设、是 上的两点分别使 为 在 上的最大值，为最小值。由 光滑性，可以作一个球 属于 且在 点与 相切，又在 内的任一点 上，根据强极值原理,的解的唯一性。,同理，可以作一个球 属于 且在 点与 相切，又在 内的任一点 上，根据强极值原理,从而,故,这与 相矛盾。故,第三边值内问题的解是唯一的。,.证明：在证明强极值原理过程中，不可能作出一个满足下列三个条件的辅助函数,（1）在球面 上,（2）在球 上；,（3）沿球的半径方向的导数 存在，且。,证 在闭球上二阶连续可微，故 必在闭球上达到它的最大值和最小值。由条件（2）知在球内不能达到最大值。因为若球内一点 处 为最大值，则,则 与 矛盾，故 的最大值只能在边界达到。由（1）在球面上。即 的最大值为0，,（3）沿球的半径方向的导数 存在，且。,因此在球内处处有。,另一方面，由条件（3）知，球内任一点,这与 矛盾！故满足（1）-（3）条件的辅助函数不存在。,
