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1、第3章 电阻电路的一般分析,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：回路(网孔)电流法 结点电压法,主要内容,基本概念 KCL和KVL的独立方程数 支路电流法 回路电流法 结点电压法,线性电路的一般分析方法,(1)普遍性：对任何线性电路都适用。,选取合适的电路变量(电流、电压)，根据KCL、KVL及元件的VCR列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路(网孔)电流法和结点电压法。,（2）元件的电压、电流关系特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(2)系统性：计算方法有规律可循。,复杂电路的一般分析法,网络图论,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是
2、富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,3.1 电路的图,电路的图(Graph)是用以表示电路几何结构的图形,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,几个名词,电路中通过同一电流的分支,三条或三条以上支路的连接点称为节点。(n),b=3,a,n=2,b,支路(branch)：,电路中每一个两端元件就叫一条支路,节点(node)：,b=5,由支路组成的闭合路径。(l),对平面电路，其内部不含任何支路的回路称网孔。,l=3,3,回路(loop)：,网孔(mesh)：,网孔是回路，但回路不一定是网孔,3-2 KCL和KVL的独立方程数,KCL的独立方程数,1,4,3,2,结论：,
3、此电路,独立的KCL方程为3个,对各结点列KCL方程：,问题的提出：在用KCL和KVL列方程时，究竟可以列出多少个独立的方程？,分析以下电路中可列写几个电流方程？几个电压方程？,基尔霍夫电流方程：,基尔霍夫电压方程：,则：独立的KCL方程有n-1个（独立结点）独立的KVL方程有b-(n-1)=b-n+1个（独立回路）,设：电路中有n个结点、b条支路,独立的KCL和KVL方程数总数为：,平面图的网孔数等于独立回路数（或KVL独立方程数）,平面图：若把一个图画在平面上，能使它的各条支路除了连接的结点外不再交叉。否则称为非平面图。,3.3 支路电流法(branch current method),出
4、发点:以各支路电流为电路变量,独立方程的列写,从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程,选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程,解题思路:根据基尔霍夫定律，列独立的结点电流 和回路电压方程，然后联立求解。,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,(1)标定各支路电流（电压）的参考方向(关联)；列支路约束方程,(2)选定(n1)个节点，列KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路(取网孔作独立回路)，绕向为顺时针，列KVL方程；,将支路约束方程代入KVL方程，消去支路电压，得到关于支路电流的方程如下：,总结支路电流法的一般步骤：,(1)标定各支路电流（电压
5、）的参考方向；,(2)选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件特性代入),(4)求解上述方程，得到b个支路电流；,(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。,例1.,结点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解：,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=6,7I111I2=70-6=64,解得：,例2.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）,解1.,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=U,7I
6、111I2=70-U,增补方程：I2=6A,+U_,由于I2已知，故只列写两个方程,节点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回路：,7I17I3=70,例3.,I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解:,11I2+7I3=5U,7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去 中间变量。,支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，且规律性不强(相对于后面要介绍的方法)。手工求解比较繁琐，也不便于
7、计算机编程求解，故宜于在支路数不多的情况下使用。,3.4 网孔电流法(mesh current method),网孔电流：沿着网孔流动的假想电流。,图中有两个网孔，支路电流可表示为：,基本思想：为减少未知量(方程)的个数,KCL自动满足,一、什么是网孔电流法？,网孔电流法：以网孔电流为独立未知量，列写网孔的独立KVL方程分析电路的方法。仅适用于平面电路。,网孔电流法是对网孔列写独立KVL方程，方程数为：,二、列方程,网孔1：R1 im1+R2(im1-im2)-uS1+uS2=0,网孔2：R2(im2-im1)+R3 im2-uS2=0,整理得：,(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS
8、2,-R2im1+(R2+R3)im2=uS2,方程的列写:,与支路电流法相比，方程数减少n-1个,(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS2,-R2im1+(R2+R3)im2=uS2,令R11=R1+R2,R22=R2+R3,自阻总为正,令R12=R21=R2 网孔的互阻：两个网孔公共支路上的电阻,网孔的自阻：组成该网孔的所有电阻之和。,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互阻取正；否则取负。,令us11=uS1-uS2，us22=uS2 网孔中所有电压源的总电压,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负；反之取正。,得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-1)个网孔的电路，有
9、:,其中:,Rjk:互阻,+:流过互阻的两个网孔电流方向相同,-:流过互阻的两个网孔电流方向相反,0:无共有支路或共有支路只有电压源,Rkk:自阻(为正),网孔电流法的一般步骤：,确定电路中各网孔的绕行方向；,对各网孔以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到l个网孔电流；,其它分析。,求各支路电流(用网孔电流表示)；,例1.,用网孔电流法求解电流 i.,解：电路有三个网孔如图所示：,不含受控源的线性网络Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，Rjk均为负。,表明：,例2.,用网孔电流法求各支路电流.,例3.,用网孔电流法求下图所示各电源的功率,解
10、：,校验：,求支路电流：,注意：含受控源电路将受控源看作独立源列方程，增加控制量与网孔电流关系式,例4.,增补方程,列写含有无伴电流源电路的网孔电流方程,注意：含有无伴电流源电路引入电流源电压为变量，增加网孔电流和电流源电流的关系式。,解：,Im2=-is,注意：含有无伴电流源电路 只在一个网孔中，网孔电流等于电流源电流（方向一致），有一个变量方程.,例4 解法2：选取独立回路时，使理想电流源支路只在一个回路中，该回路电流即is.,小 结,1.网孔电流方程的列写指定网孔电流参考方向按照下式列写规则对网孔列写KVL方程,其中：Rkk为第K个网孔的自阻，Rkj为第K个网孔和第j个网孔间的互阻。,自
11、阻总为正,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互阻取正；否则取负。,2、无伴电流源支路的处理 没有并联电阻的电流源称为无伴电流源 当无伴电流源处于一个网孔时，让网孔电流等于无伴电流源电流。当无伴电流源处于公共支路上时，可采用附加变量法。即：将无伴电流源电压设为未知量，同时，增加一个网孔电流方程。,3、受控源支路的处理 将受控源看作独立源列方程，然后增加控制量与网孔电流关系式。,3.5 回路电流法(loop current method),回路电流:在回路中流动的假想电流。,优点,网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法适用于平面或非平面电路。,回路电流法：以一组独立的回路电流为未知量列写电路方
12、程分析电路的方法。,回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,方程列写,独立回路数为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,KCL自动满足,回路1：R1(il1-il2)+R2il1-uS1+uS2=0,回路2：R1(il2-il1)+R3 il2+uS1=0,整理得：,(R1+R2)il1-R1il2=uS1-uS2,-R1il1+(R1+R3)il2=-uS1,方程的列写：,(注意：回路电流方向和回路的绕行方向一致),令R11=R1+R2,R22=R1+R3,自阻总为正,令R12=R21=R1 回路的互阻：两个回路公共支路上的电阻,回路的自阻：组成该回路的所有电阻之和。,当两
13、个回路电流流过相关支路方向相同时，互阻取正；否则取负。,令usl1=uS1-uS2，usl2=-uS1 回路中所有电压源的总电压,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负；反之取正。,(R1+R2)il1-R1il2=uS1-uS2,-R1il1+(R1+R3)il2=-uS1,由此得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,Rkk:自电阻(为正),0:无共有支路或共有支路只有电压源,解：,只让一个回路电流经过R5支路,特点：,减少计算量,互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电
14、阻,例1.,用回路电流法求解电流 i.,(1)回路法的一般步骤,1.选定l=b-(n-1)个独立回路(平面电路时，取网孔最简单)，并确定其绕行方向；,2.对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；(注意：回路电流方向和回路的绕行方向一致),3.求解上述方程，得到l 个回路电流；,5.其它分析。,4.求各支路电流(用回路电流表示)；,小结,(2)回路法的特点：,通过灵活的选取回路可以减少计算量；,互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。,无伴电流源支路的处理：,方法一：引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例2,电流源看作电压源列方程,增补方程：,解：,方法二：选取独
15、立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即IS。,例2,为已知电流，实际减少了一方程,解：,与电阻并联的电流源,可做电源等效变换,受控电源支路的处理：,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,例3,受控电压源看作独立电压源列方程,增补方程：,用回路电流法求解电压U,解：选取网孔作为独立回路,例4,列回路电流方程,解1：,选网孔为独立回路,U2,U3,增补方程：,电流源和受控源电流电压取关联。,解2,回路2选大回路,增补方程：,例5,求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。,解:,选取回路如图所示：,3.6 结点电压法(nod
16、e voltage method),出发点：以结点电压为未知量,一、什么是结点电压法？,结点电压,所有元件电压都可用结点电压表示：,二、方程的列写,(1)选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压,iR出=iS入,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,-i3+i5=iS2,(2)列KCL方程：,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,-i3+i5=iS2,把支路电流用结点电压表示：,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为：,G11 un1+G12un2 G13un3=iS11,G21un1+G22un2 G23un3=iS22,G31un1+G32u
17、n2 G33un3=iS33,标准形式的结点电压方程,整理，得：,等效电流源,G11un1+G12un2 G13un3=iS11,G21un1+G22un2 G23un3=iS22,G31un1+G32un2 G33un3=iS33,iS2,标准形式的结点电压方程,说明,G11 G1G2,互导:接在两结点之间的所有支路的电导之和，总为负。,电流源支路电导为零,iSii：流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,流入结点取正号，流出取负号。,G22=G2+G3+G4,自导:接在各结点的所有支路的电导之和，总为正。,G33=G3+G5,G12=G21=-G2,
18、G23=G32=-G3,iS22=-iS2uS/R5,iS11=iS1+iS2,等效电流源,注意：,例：列写结点电压方程,电路中含电压源与电阻串联的支路：,一般情况,其中：,Gii：自导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,iSii：流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji：互导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。,注意：流入结点取正号，流出取负号。,结点电压法的一般步骤：,(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,
19、(3)求解上述方程，得到n-1个结点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用结点电压表示)；,试列写电路的结点电压方程。,(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=USGS,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS,例1,解：,参考结点及其它结点编号如图示,结点电压方程为：,无伴电压源支路的处理,解法1：以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系,例2：试列写电路的结点电压方程。,无伴电压源：无电阻与之串联的电压源,(G1+G2)U1-G1U2=I,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+
20、(G4+G5)U3=I,U1-U3=US,增补方程：,解法2：选择合适的参考点，使电压源电压成为某一结点电压。,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。,先把受控源当作独立 源列方程；,(2)用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例3,设参考点，把受控源当作独立源列方程；,(2)用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例4,解：,例5,列写电路的结点电压方程。,注意：与电流源串接的电阻不参与列方程,增补方程：,U=Un3,解：参考结点及其它结点编号如图示,结点电压方程为：,例6,求图中U和I。,解1：,应用结点法。,解得：,解2,应用回路法。独立回路选取如图示：,解得：,1、支路法、回路法(网孔法)和结点法的比较,本章小结,2、本章要求,3-11、3-12、3-15、3-20、3-21,本 章 作 业,
