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1、,第 4 章,Sensitivity Analysis,SA,灵敏度分析,第4章 灵敏度分析,2,4.1 引言4.2 参数的影响范围4.3 灵敏度分析的程序,第4章 灵敏度分析,第4章 灵敏度分析,3,4.1 引言,灵敏度分析就是分析研究模型参数的取值变化对最优解或最优基的影响。模型参数在什么范围内变化将不致影响最优基？若最优解随参数的变化而变，则应如何用最简方法找到新最优解？,第4章 灵敏度分析,4,4.1 引言,灵敏度分析的特点或优点：充分利用 模型的原始数据:aij,bi,cj 最优单纯形表中的数据:,i=1,2,m,k=1,2,m,j=1,2,n,j=1,2,n,(1),第4章 灵敏度
2、分析,5,4.1 引言,aij=aij+aij bi=bi+bi cj=cj+cj,k=1,2,m,j=1,2,n,j=1,2,n,(2),则最优单纯形表中的数据也有如下增量：,设,第4章 灵敏度分析,6,4.2 参数的影响范围,考虑问题(P1)及其标准形(Ps)：,在保持问题(Ps)的最优基不变的条件下，该参数单独变化的最大范围。,问题(P1)的某个参数的影响范围是指：,第4章 灵敏度分析,7,4.2 参数的影响范围,4.2.1 参数bi的影响范围,设参数 br发生br的变化，则br的影响范围是：brbr-，br+其中：,br-=max-bk*/skr*skr*0 br+=min-bk*/s
3、kr*skr*0,相应地，参数 br的影响范围是：br br+br-，br+br+其中：br 参数br的原始数值,第4章 灵敏度分析,8,4.2 参数的影响范围,例1 范例的最优单纯形表如下：,b1的影响范围 b1-=-4/1=-4 b1+=,又知参数的原始数值b1=8,则b1 8-4，8+）=4,),第4章 灵敏度分析,9,4.2 参数的影响范围,b2的影响范围,又已知参数的原始值b2=12,则 b2 12-6，12+6=6,18,第4章 灵敏度分析,10,4.2 参数的影响范围,b3的影响范围,又已知参数的原始值b3=36,则 b3 36-12，36+12=24,48,第4章 灵敏度分析,
4、11,4.2 参数的影响范围,4.2.2 参数 cj的影响范围一、cj是非基变量的系数,设问题(P1)的某一非基变量 xr 的系数cr变化cr,其余cj及一切bi,aij 均不变。则 cr 的影响范围是：(-,r*相应地,cr的影响范围是：,其中:,cr 参数cr的原始数据,cr(-,cr+r*,第4章 灵敏度分析,12,4.2 参数的影响范围,第2.4节的例5,cr(-,cr+r*,c1(-,3+3/4,第4章 灵敏度分析,13,4.2 参数的影响范围,设基变量xr的系数 cr=cBl 发生 cr 的变化，则有:cr-=max-j*/al j*al j*0 cr+=min-j*/al j*a
5、l j*0 alj*基变量 xr 所在第l 行中的非基变量的系数，则cr的影响范围是：cr cr+cr-，cr+cr+其中：cr 参数cr的原始数值,二、cj是基变量的系数,第4章 灵敏度分析,14,4.2 参数的影响范围,而 c1=3 故：c1 3-3,3+3/4=0,15/4,又有：,故：c2 5-1,）=4,）,范例：c1,c2 的影响范围,第4章 灵敏度分析,15,4.2 参数的影响范围,z=3x1+c2x2,2x2=12,0 x1+,3x1+4x2=36,c2=4,斜率为0,=0,c2=,-,c2 4,),图解法,第4章 灵敏度分析,16,4.2 参数的影响范围,参数aij的影响范围
6、,设某一非基变量的参数 akr 单独变化akr,则有：,akr-r*/yk*,),当 yk*0(-，+),当 yk*=0,其中：akr 参数akr的原始数值,第4章 灵敏度分析,17,4.2 参数的影响范围,第2.4节的例5：a11,a31的影响范围,a31 a31-1*/y3*,),因 y1*=0,故a11的影响范围是：a11(-,)而 y3*=5/4,故a31的影响范围是：,=12/5,),第4章 灵敏度分析,18,4.3 灵敏度分析的程序,b*=B-1b w*=(Y*)Tb(*)T=(Y*)TA-CT 或 j*=(Y*)Taj-cj A*=B-1A,或 aj*=B-1aj,(7),基本公
7、式,第4章 灵敏度分析,19,4.3 灵敏度分析的程序,1根据变化的参数值（b,C,A)选择有关公式算出变化后 的数据(b*,w*,*,A*),用以取代原最优单纯形表中的相应数 据,必要时添行添列，得到新表。2若新表中基向量改变了单位向量的形式（包括该列检验数 不再为0）,则用换基运算恢复基向量为单位向量（包括该列 检验数也须化为0）；否则转3。3这时新表中解列的数据b与检验矢 有以下四种可能情况：,若b0且 0，则当前解即最优解，停止运算；,基本程序,第4章 灵敏度分析,20,4.3 灵敏度分析的程序,4.3.1 改变各bi 若有一个参数bi的变化超出其影响范围，或有几个bi同时变化，则须按
8、灵敏度分析的基本程序进行分析。这时*和A*均未变，仅b*,w*有变。例3 若范例中参数b2变为24,最优解有何变化？解：由于b2=24已超出b2的影响范围6,18,因此最优基必然改变。按之式得：,b*,B-1,b,YT,第4章 灵敏度分析,21,4.3 灵敏度分析的程序,-2/3,x3x2x4,05 0,6-3/2 0 0 1-1/2,9 3/4 1 0 0 1/4,8 1 0 1 0 0,45 3/4 0 0 0 5/4,X*=(0,9,8,6,0)T,z*=45,第4章 灵敏度分析,22,4.3 灵敏度分析的程序,4.3.2 改变一个非基变量的系数,例4 因表中基列没有x1，即x1=0，这
9、表明不生产甲产品故工厂决策者考虑:若改革甲产品的生产工艺，能减少一个C工时/件,从而增加其利润0.5百元/件,则能否导致重新安排甲产品的生产？解:非基变量的系数变为：,a1*=,第4章 灵敏度分析,23,4.3 灵敏度分析的程序,11/2-1,-1,3.5,0,1,x1x2 x4,3.5 5 0,8 0 0 1 1-1/2,8 1 0 1 0 0,5 0 1-1/2 0 1/4,53 0 0 1 0 5/4,X*=(8,5,0,8,0)T z*=53,(a),(b),第4章 灵敏度分析,24,4.3 灵敏度分析的程序,例5 承例4。假定还有一种新产品丙,每件消耗A，B，C工时数分别为 1，1.
10、5，1,利润为3百元/件。则在现有生产能力下，是否安排生产丙产品？解 设丙产品产量为 x6 件，这时原最优单纯形表为表4-5(b)，且知,第4章 灵敏度分析,25,4.3 灵敏度分析的程序,1-1/4 2,-3/4,3,2,x1x2 x6,3.5 5 3,4 0 0 1/2 1/2-1/4 1,4 1 0 1/2-1/2 1/4 0,8 0 1-3/8 1/8 3/16 0,56 0 0 11/8 3/8 17/16 0,X*=(4,6,0,0,0,4)T,z*=56,x6,第4章 灵敏度分析,26,4.3 灵敏度分析的程序,4.3.3 改变一个非基变量的系数 一.改变一个基变量的系数 例6
11、考虑范例。若甲产品因故不能投产，但另有丙、丁两种新产品都 能取代甲产品。其中每件丙产品需A,B,C工时数1,1,2,创利4百元,每件丁产品需A,C工时各2,也创利4百元。则应以丙还是丁取代甲？若用丙取代甲，则把 x1改为丙的日产量。,第4章 灵敏度分析,27,4.3 灵敏度分析的程序,x3x2 x5,050,12 0 0 0-2 1,6 1/2 1 0 1/2 0,8 1 0 1 0 0,30-3/2 0 0 5/2 0,x1x2x5,4 5 0,12 0 0 0-2 1,42 0 0 3/2 5/2 0,8 1 0 1 0 0,2 0 1-1/2 1/2 0,1,1/3,4,11/20,-3
12、/2,4,X*=(8,2)Tz*=42,第4章 灵敏度分析,28,4.3 灵敏度分析的程序,若用丁取代甲，则把 x1 改为丁的日产量。,第4章 灵敏度分析,29,4.3 灵敏度分析的程序,4,4,4/3 02/3,-2,2/3,x3x2 x1,0 5 4,6 1 0 0-1 1/2,6 0 1 0 1/2 0,-4 0 0 1 2-1,54 0 0 0-3/2 2,x5x2x1,0 5 4,4 1 0 1/2 0 0,46 0 0 2 5/2 0,4 0 0-1-2 1,6 0 1 0 1/2 0,-1,X*=(4,6)Tz*=46,第4章 灵敏度分析,30,4.3 灵敏度分析的程序,二.基变
13、量某一系数aij的影响范围确定,例7 试确定范例LP原型中参数a32的影响范围。解:设a32发生的变化,则“优表”中相应的增量为:,=,把它加给“优表”中的a2列,得,第4章 灵敏度分析,31,4.3 灵敏度分析的程序,x3x2 x1,0 5 3,4-2 1 0 0 2/3-1/6 1/3,4+2 0 0 1 2/3+1/6-1/3,6 0 1 0 1/2 0,42-6 0 0 0 1/2-1/2 1,1,第4章 灵敏度分析,32,4.3 灵敏度分析的程序,由表可见：若要保证当前解为最优，必须满足：,解得-2 a32 1,因 a32 原值为4,故 a32 4-2,4+1=2,5,4+2 0 4-2 0-0,第4章 灵敏度分析,33,4.3 灵敏度分析的程序,4.3.4 增加一个约束条件,例8 考虑范例。若该厂对甲、乙产品又增加用电不超过24百度的限制，而每件甲、乙产品分别耗电2、3百度，则原最优生产方案是否需要改变？解：这意味着增加一个约束：,2x1+3x2 24,把最优解 X*=(4,6)T 代入上式左端：,故最优解必然改变。,第4章 灵敏度分析,34,4.3 灵敏度分析的程序,1,1,-2/3,第4章 灵敏度分析,35,4.3 灵敏度分析的程序,X*=(3,6)T,z*=39,
