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1、复习,行列式的性质及推论,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。,性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等于零。,性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,则 此行列式等于两个行列式之和。,性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。,性质4：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。,推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。,性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应
2、的元素上去,行列式不变.,例 计算,解:第一行的-1倍加到以下各行,可得爪形行列式,称,为元素 aij 的代数余子式,余子式:在n 阶行列式中，划去元素 所在的第i行与第j列，剩下的元素按原来的相对位置所排成的n-1 阶行列式，叫做原行列式中元素 的余子式，记作 Mij；,例如:,的元素x 的余子式为,代数余子式为,代数余子式:,行列式按行(列)展开,证明,由性质1.4与行列式定义可以证明该性质.,定理 行列式等于它的任一行的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:,说明：,该性质又称为行列式的按行展开定理；,同理也有按列展开定理：,在实际应用中,常常选取零元素较多的一行或列,按该行或列施行展开,
3、达到降阶、简化计算的目的。,意义：,实现了n 阶行列式到n-1阶行列式的降阶变换；,例,解:按第二行展开,但是,解：由于第一行中的0较多，所以按第一行展开.,例 求行列式 的值,D=,推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即,说明：,该性质与按行展开定理合并可得公式：,将行列式的第j行元素换成第i行元素,再按照第j行展开:,证明:,第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否推广至四元、五元乃至n元的线性方程组的求解？,一、问题的提出：,根据此模式可否推出n个未知数n个方程的线性方程组解的情形?,2、由三元线性方程组所作的讨论可知,若线性方程 组
4、的系数行列式 则解可表示为,1.4 克拉默(Cramer)法则,二、,含有n个未知量n个方程的线性方程组,(1),系数行列式记为D,是D中第j列元素换成常数项所得.,【定理】（克拉默法则）若线性方程组(1)的系数行列式，则存在唯一解.,注意:,克莱姆法则只适用于包含n个未知量n个方程,并且系数行列式不为零的线性方程组.,用克莱姆法则求解线性方程组,在一般情况下,要计算n+1个n阶行列式,计算量很大.,例1 解线性方程组,解:,=27,利用公式,同理可求:,三 关于齐次线性方程组的结论:,当线性方程组右端的常数项 不全为0时,线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组.,(1),当线性方程组右端的常数
5、项 全为0时,线性方程组(2)叫做齐次线性方程组.,(2),一定是(2)的解,这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解.,如果一组不全为零的数是(2)的解,则这个解叫做齐次线性方程组(2)的非零解.,【定理】若齐次线性方程组(2)的系数行列式 则该齐次线性方程组(2)没有非零解，即只有零解.,等价命题:,如果齐次线性方程组(2)有非零解，则该齐次线性方程组的系数行列式必为零。,分析:,如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0.,由D=0,第一章 行列式习题课,知识结构,行列式的定义行列式的性质行列式的展开四 行列式的计算五 行列式的应用,（一）n阶行列式的定义,（二）逆序数,2、定理：A、对
6、换改变排列的奇偶性。,1、定义：排列的逆序总和称为该排列的逆序数。,C、任意一个n级排列经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换次数的 奇偶性与这个排列的奇偶性相同。,B、n级全排列中（n2），奇偶各占一半,一 行列式的定义,例:,写出四阶行列式中含有a11 a23的项.,解:,四阶行列式中含有a11 a23的项形如:a11 a23 a3i a4j,当i=2，j=4时,(-1)(1324)a11 a23 a32 a44=-a11 a23 a32 a44,当i=4，j=2时,(-1)(1342)a11 a23 a34 a42=a11 a23 a34 a42,例:,解:,性质1：行列式与它的转置
7、行列式相等。,推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。,性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等于零。,性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,则 此行列式等于两个行列式之和。,性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。,性质4：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。,推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。,性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变.,二 行列式的性质,定理,
8、三 行列式按行（列）展开,四 行列式的计算,思路一:利用定义,例,解：,分析:,当行列式的各行(列)的所有元素之和相等时,可将各列(行)的元素都加到第一列(行)的元素上去.,思路二:利用性质,例,上三角形,思考:,例,解:将第一行的-1倍分别加到其余各行,思考:,例,解:按第二行展开,但是,思路三:利用行列展开,例:,三对角形,1、三角行列式（上三角、下三角、对角行列式）,2、范德蒙行列式,重要行列式:,思路四:利用重要行列式,例:,解:将第一行的3倍加到最后一行,五 行列式的应用,【1】若线性方程组的系数行列式,则存在唯一解.,【2】若线性方程组无解或有多个不同的解，则系数行列式,【3】若齐次线性方程组的系数行列式,则存在唯一零解.,【4】若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式,克拉默法则,例,a为何值时，方程组有非零解？,解,当系数行列式为零时,此方程组有非零解.,？,所以当a=4或a=3或a=2时，方程组有非零解。,范德蒙行列式！,0,证：第一列乘以100，第二列乘以10都加到第三列，得：,而由已知条件知222，407，185三个数都可以被37整除，,P25 3,作业 P20 6,7（1）,
