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1、2-5 初等变换和初等矩阵,1 定义：下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：,(1)互换i与j两行(列)(记为),(3)把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).,(2)以数 乘第i行(列)的所有元素(记为),注（1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换;,（2）矩阵的初等变换是可逆的：,一 初等变换的概念,例,解方程组:,增广矩阵,消元法,线性方程组由其增广矩阵唯一确定,注（1）下面三种变换称为方程组的同解变换:,1)互换两个方程的位置；2)用一个非零数乘某一个方程；3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去,如果矩阵A经
2、过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记做AB。,2 等价矩阵,矩阵等价的性质：,例,二 初等变换应用之一：化简矩阵,行最简形矩阵,行阶梯形：1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方 2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上 到下 严格递增。,行最简形：1）行阶梯形 2）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所 在的列除此元素外，其余元素均为零。,标准形：其左上角是一个r阶单位阵，其余元素为0。,行最简形矩阵,标准形矩阵,化简过程：,结论:,3.任一矩阵都可经初等行和列变换化成标准形。,1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最
3、简矩阵.,例 用初等变换化简矩阵,标准形,行最简形,行阶梯形,单位矩阵,初等矩阵,三 初等变换的另一种描述：初等矩阵,1 定义:由单位矩阵E经一次初等变换而得到的矩阵 称为初等矩阵。,初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k)；其中,单位矩阵,初等矩阵,设,考察,对A施行一次相应的初等行变换,内涵,初等矩阵左乘矩阵A,对A施行一次相应的初等列变换,初等矩阵右乘矩阵A,例 对三阶单位矩阵E施行一次初等变换可得：,E23=,E3(k)=,E12(k)=,交换2，3行,第1列的k倍加到第2列,交换2，3列,第3列乘以k,第3行乘以k,第2行的k倍加到第1行,1）初等矩阵都是可逆矩阵,
4、并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:,2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：,2 初等矩阵的性质：,A=P1P2Pk.,【证】,充分性:设有初等矩阵P1，P2，,Pk,使,A=P1P2Pk.,因初等矩阵是可逆矩阵,即:A=P1P2Pk,必要性：设A可逆，则A经初等变换可以化成单位矩阵E，,所以存在有限个初等阵P1,P2,Pl,Pl+1,Pk,使:,A=P1P2PlEPl+1Pk,证毕,【定理】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等矩阵P1，P2，,Pk，使:,从而经有限次初等变换可以将E变成A，,且可逆阵的积还是可逆阵,所以A可逆。,四 初等变换应用之二：求逆矩阵,【推论1】两个 型矩阵A、B
5、等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,【推论2】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.,【证】,因A可逆,所以A-1也可逆,由定理,存在初等阵P1,P2,Ps,使,于是有 A-1A=P1P2PsA=E.,A-1=P1P2Ps,两个 型矩阵A、B行等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P,使PA=B.,两个 型矩阵A、B列等价的充要条件是:存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B.,得:P1P2PsA=E P1P2PsE=A-1,设A是n阶可逆矩阵,则A-1也可逆,从而存在初等阵P1,P2,Ps,由 A-1A=E;A-1E=A-1;,A-1=P1P2Ps,结论:
6、若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1。,用初等行变换求逆矩阵的方法:,2)做初等行变换,例,求A的逆矩阵,其中,解,由于,A-1,如何求可逆矩阵P？,解,B,P,五 初等变换应用之三：解矩阵方程,设矩阵方程为AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B.,由 A-1A=E;A-1B=X;,设A-1=P1P2Ps(Pi为初等矩阵),得:P1P2PsA=E P1P2PsB=X,解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:,例 设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中,解:,由于,所以,作业：14;15;16;17;18(2,3);19(
7、1);20;21;22(1),2-6 矩阵的秩,是A的两个二阶子式.,例如,k 阶子式：,在矩阵 中任选k 行k 列,称为矩阵A 的k 阶子式.,其中不为零的子式称为非零子式,1.矩阵秩的概念,(2)若R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶数大于r的子式全为零.,【定义】矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩.记为R(A).如果A是零矩阵,规定R(A)=0.,注:,(5)其中A1为A的任一子阵,(4)n 阶方阵A可逆的充要条件为R(A)=n;,例:,R(A)=1,R(A)=？,算你狠！,显然其三阶子式,所有的四阶子式全为零.,所以R(A)=3.,印象:,1.一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。,2.行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数.,【定理】,矩阵经初等变换后其秩不变,2.初等变换应用之四：求矩阵的秩,方法：,1）将A用初等行变换化为行阶梯矩阵；,2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。,例,只需行阶梯形即可！,作 业：P58 23(2,3);24;25;27;28,
