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1、第二章 轨迹与方程,主要内容：,2.1、平面曲线的方程,2.2、曲面的方程,2.3、空间曲线的方程,2.1 平面曲线的方程,解析几何 Chapter 2,第一节 平面曲线的方程,一、曲线与方程：定义：当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；,则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。,曲线的方程常表示为：,F(x,y)=0 或 y=f(x),二、曲线的向量式方程,例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。,解：向量式方程,普通方程,x2+y2=R2,化为普通方程为
2、,xy=2(x+y2),故曲线为,1、向量函数,当动点按某种规律运动时，与它对应的向径也随着时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径称为变向量，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值对应于变向量r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称r是变数t的向量函数，记为r=r(t)(atb).,2、向量函数的分量表示,设平面上取定的标架为O;e1,e2,则向量函数可表示为,r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).（1）,其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。,3、向量式参数方程,若取(atb)的一切可能值，由（1）,4、坐标式参数方程,曲线 的参数方程常
3、可以写成下列形式：,称为曲线的坐标式参数方程。,的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。,表示的向径r(t),例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P的轨迹。,解：取直角坐标系，设半径为 a的圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点，经过一段时间的滚动，圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到C点，这时有,A,则,又因为,所以,从而点P的向量式参数方程为,r=a(-sin)i+a(1-cos)（+）,其坐标式参数方程为,这种曲线称为旋轮线或
4、摆线。,例4 已知大圆的半径为，小圆的半径为,若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆上某一定点P的轨迹的方程。,称为内旋轮形线(或称内摆线)解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O点垂直于OA的直线为y轴，经过某一过程之后，小圆与大圆的接触点为B，并设小圆中心为C，那么C一定在半径OB上，有,由于，所以,特殊地，当 应用公式曲线方程化为,例5：把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）,三 曲线的参数方程,解：设圆的半径
5、为R，线头P的最初位置是圆周上的点A，以圆心为原点，OA为x轴，经过某一过程以后，切点移至B，PB为切线，那么,设 那么,且向量 对x轴所成的有向 角为而 所以,三 曲线的参数方程,例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。,法一,法二,设y=tx+b,代入原方程得,解得,在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取,从而,在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为,注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0
6、,-b)，或把它看成当t时的交点。,第一种参数方程以角度 为参数：,第二种参数方程以斜率 为参数：,例7 化方程 y2(2a-x)=x3(a0)为参数方程。,解：设y=tx，代入可得参数方程,注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如,注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。,一、曲线的方程,二、曲线的参数方程,三、常见曲线的参数方程,CONTENTS,求曲线方程一般需要下面的5个步骤：,1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）；,2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；,3）根据
7、曲线上的点所满足的几何条件写出等式；,4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；,5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.,作业 P77-78,2,3,8,2.2 曲面的方程,一.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:,(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;,(2)满足方程F(x,y,z)=0的(x,y,z)在曲面S上,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。,解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等
8、距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为,用两点间的距离公式代入并化简可得：,2x-6y+2z-7=0,例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。,解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是,|y|=|x|,即,x+y=0 与 x-y=0,(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2(1),称方程(1)为球面的标准方程.,特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2=R2,例3、求球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.,解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M
9、 M0|2=R2.即,解,根据题意有,所求方程为,解:原方程可改写为,(x 1)2+(y+2)2+z2=5,故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 的球面.,例5:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面?,例6 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,二、曲面的参数方程,1、双参数向量函数,在两个变数u,v的变动区域内定义的函数,r=r(u,v)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3(2),称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。,当u,v取
10、遍变动区域的一切值时，径矢,的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。,2、曲面的向量式参数方程,定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的向径r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这向径可由u,v的值(aub,cvd)通过（2）完全决定，则称（2）式为曲面的向量式参数方程，其中u,v为参数。,因为向径r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成,表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。,例6 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。,所以,r=(
11、rsincos)i+(rsinsin)j+(rcos)k(4),此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。,中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为,（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是0与-。,例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。,解：如图,有,所以 r=(Rcos)i+(Rsin)j+uk（6）,此即为圆柱面的向量式参数方程。,其坐标式参数方程为,（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是,-，-u+,一般按下列三个步骤进行：,二、曲面的参数方程,三.球坐标系与柱坐标系,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,1.球坐标系,2.柱
12、坐标系,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,CONTENTS,一、曲面的方程,二、曲面的参数方程,三、球坐标系与柱坐标系,作业 P8788 2（4），3（3），4（3）,2.3 空间曲线的方程,解析几何 Chapter 2,Contents,一、空间曲线的方程二、空间曲线的参数方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.因此方程组（2.31）表示一条空间曲线 的方程，,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,注：空间
13、曲线可以用不同形式的方程组来表达.,我们把它叫做空间曲线的一般方程.,例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。,解：,例1、写出Oz轴的方程。,解：,Oz轴可看成两个平面的交线，如,或,可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。,例3,例4:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2的交线是,x 2+y 2+z 2=32 z=2,一个圆,它的一般方程是,解:方程,方程.,它的准线xOy面上的圆,圆心在点,所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,（维维安尼曲线Viviani）,表示球心在原点O,半径为a的上半球面.,表示母线平行于z 轴的圆柱面,二、空间曲线的参数方程
14、,将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.,x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t),当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的坐标式参数方程.,例5:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做圆柱螺旋线,试建立其参数方程.,解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处。,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).,
15、(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而,x=|OM|cosAOM=acos t,y=|OM|sinAOM=asin t,(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而,z=MM=vt,得螺旋线的参数方程,x=acos ty=asin tz=vt,注:还可以用其它变量作参数.,例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:,x=acos y=asin z=b,当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.,特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,在工程上称 h=2 b为螺距.,例6 维维安尼曲线 一半径为a的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与圆柱面的交线称为维维安尼曲线，试写出其一般方程和参数方程。,解：一般方程,参数方程,作业：,P92 2（3），3（2），5（2）,
