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1、1,回顾：,1、数列极限的定义：,2、收敛数列的性质:有界性 唯一性 保号性.,2,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,3,单击任意点开始观察,一、自变量x时,f(x)的极限,1.【引例】,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,观察完毕,4,通过上面演示实验的观察:,【问题2】,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,是在 x 的过程中实现的,即x时,f(x)0.,5,6,另两种情形:,P38.10,7,3.【几何意义】,8
2、,【例1】,【证】,4.【水平渐近线】,9,二、自变量趋向有限值时函数的极限,10,11,【几何意义】,12,【例2】,【证】,【例3】,【证】,13,【例4】,【证】,注：函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性,14,【例5】,【证】,15,【单侧极限】,【例如】,16,【左极限】,【右极限】,【注意】,17,左右极限存在但不相等,【例6】,【证】,课后习题第8题,【极限存在定理】,18,三、函数极限的性质,1.【唯一性】,【注】以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。,【证明】（略）（自证）,19,【定理2】,【证】,有,则定理2得证,2.【局部有界性】,20,3.【局部保号性】,【证】,有,【证完】,容易推得下面更强的结论：,【定理3】,21,推论二：,推论一：,则,当,时，就有|,注：,若推论二中的条件改为f(x)0，则推不出A0。,例：,22,4.函数极限与数列极限的关系,证：,23,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),24,25,作业：,P38 1,4,
