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1、高等数学,西南财经大学经济数学学院孙疆明,精,国,保,第十讲 微分中值定理,一、费尔马(Fermat)定理,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)定理,四、柯西(Cauchy)定理,一、费尔马(Fermat)定理,（一）极值的定义：,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,（二）费尔马定理(极值必要条件),证,微分中值定理的引入,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)定理,四、柯西(Cauchy)定理,怎样证明罗尔定理？,最大最小值在区间内就是极值,罗尔定理的证明：,怎样证明拉格朗日定理、柯西定理？,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式
2、,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日公式各种形式,推论1：,证,推论2：,推论4：,推论3：,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,证,证明思路直观分析,例,证,根据连续函数的最大最小值定理,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数就是两条曲线,首先证明至少有三个根,根据介值定理,因此方程至少有三个相异根,然后证明方程最多有三个相异根,用反证法,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个相异实根,证,证,证,证,证,证,极值、凸性、渐近线,函数的极值,函数的凸性,渐近线,函数的作图,最值,曲率,一、极值与最值,极值
3、的第一充分条件(导数形式),定理1：,（二）极值的第二充分条件,定理2：,证(1),（二）函数的最大、最小值,(B)最大、最小值应用问题,解,一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高(约为6厘米和12厘米),粗的部分的直径约为6.6厘米,粗的部分高约为10.2厘米(怎样测量比较简捷？).可口可乐饮料罐上标明净含量为355 毫升(即355 立方厘米)。,饮料罐中的数学,唯一驻点,返回,返回,返回,解,解,曲线凸性的定义,返回,定理：(用二阶导数判定函数的凸性),（三）拐点,定理：（拐点必要条件）,曲线的渐近线,曲线渐近线的求法,定理：,证 必要性,证充分性 假设下列两个条件同时成立,函数作图,解,拐点,拐点,极大,返回,返回,返回,返回,解,返回,返回,解,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,二、函数的凸性,何谓凸函数？,（一）凸性定义：,（二）凸性的判定,定理1：(用一阶导数判定函数的凸性),证 必要性,返回,返回,定理2：(用二阶导数判定函数的凸性),定理3：(用切线位置判定函数的凸性),切线位于曲线下方,
