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1、微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,例2.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,制动时,(1),(2),常微分方程,偏
2、微分方程,含未知函数导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,(本章内容),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,分类,或,(n 阶显式微分方程),使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.,通解:,特解:,例1.验证函数,是微分方程,的通解,的特解.,解:,由初始条件解得:,故所求特解为,并求满足初始条件,是,是,不是,是,求所满足的微分方程.,(2)已知曲线上点 处的法线与
3、 x 轴交点为 Q,解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标,即,点 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,作业：P298 1（做书上）;2(2)；4(2);5（1）,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,两边积分,得,由隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,由隐函数 x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,y=0 也是方程的解.,例2.,解:分离变量,即,(C 0),积分,例3.解初值问题,解:
4、分离变量得,两边积分得,即,由初始条件y(0)=1得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.,解:根据题意,有,由初始条件得,故所求铀的变化规律为,已知 t=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,练习:P304 1(1),(2),(9);2(1).,
