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第五节,欧拉方程,第十四章,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的次数相同,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,求出这个方程的解后，,把 t 换为，,即得到原方程的解.,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A=1,所求通解为,例3.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,
