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1、,第二节,数项级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,一、正项级数及其收敛性判别法,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(比较判别法),设,且对任意自然数 n，满足关系式,(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,证:,，则有：,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示上述两级数的部分和,则有,是两个正项级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若级数,因此,这
2、说明级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知 p 级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故由比较判别法知 p 级数收敛.,时,2)若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较判别法可知,所给级数发散.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.(比较判
3、别法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别取,可得如下结论:,对正项级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较判别法的极限形式知,定理4.（比值判别法）,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较判别法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,所以级数发散.,时,(2)当,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:
4、,级数收敛;,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、交错级数及其收敛性判别法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较判别法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
