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1、万有引力定律考题的分类解析,一、讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况。物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g=G，可见，g随h的增大而减小。,例1：设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g,，则g/g,为A、1；B、1/9；C、1/4；D、1/16。解析：因为g=G,g,=G,所以g/g,=1/16,即D选项正确。,二、求天体的质量。,通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。例2：已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.491011m,公转的周期T
2、=3.16107s,求太阳的质量M。解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：G=mr(2/T)2 M=42r3/GT2=1.96 1030kg.,二、求天体的质量,例3：宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。（98年高考试题）,解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 x2+h2=L2(1)由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大
3、到2x,可得（2x）2+h2=(L)2(2)设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：h=gt2(3)由万有引力定律与牛顿第二定律得g=G(4)联立（1）、（2）、（3）、（4）式解得M=。,三、求卫星的高度,例4：已知地球半径约为R=6.4106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约为 m.(结果只保留一位有效数字)（97年高考试题）。解析：因为mg=G，而G=mr(2/T)2 所以，r=4108m.,例5：已知地球的半径为R，自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，在赤道上空一颗相对地球静止的同步卫星离地面的高度是（用以上三个量表示）（90年上海
4、高考试题）解析：因为mg=G，而G=m（R+h）2 所以，h=-R.,例6：地球的同步卫星离地心的距离r可由r3=求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s,c的单位是m/s2,则A、a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度。B、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度。C、a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度。D、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度。（99年高考试题）显然，选项（A、D）正确。,四、计算天体的平均密度,通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度。例7：如果某行星有一颗卫
5、星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G=mR,所以，M=而恒星的体积V=R3，所以恒星的密度=。,例8：一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？解析：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则G=m02R,所以，02=G。由于0得2 G，则，即此球的最小密度为。,例9：两颗人造地球卫星都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比=2,则它们的动能之比等于A、2；B、；C、；D、4（
6、92年高考试题）显然选项（C）正确。,例10：两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：A、RA：RB=4：1；VA：VB=1：2。B、RA：RB=4：1；VA：VB=2：1C、RA：RB=1：4；VA：VB=1：2。D、RA：RB=1：4；VA：VB=2：1（95年高考试题）显然选项（D）正确。,六、推导恒量关系式。,例11：行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：T2是一个常量，即对任何行星都相同。,证明：因为行星的质量M=（R是行星的半径），行星的体积V=R3，所以行星的平均密度=，即 T2=，是一个常量，对任何行星都相同。例12：设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。证明：由G=mr(2/T)2 得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。,
