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1、专题八 备考易错笔记,错误是最好的老师认识错误是预防再次出错的基本保障，看看在知识的运用时是不是由于自己计算不仔细、思维不严谨而造成解题不全面、不完整，这种思维不严谨的现象在高考数学解题过程中是大量存在的.其实，解决这个问题的办法是比较简单的，那就是留意自己在复习中的知识漏洞，在以后的解题过程中，时常有意识地提醒自己，别再犯类似的错误.,在平时的学习过程中，考生应注意对做过的题进行适当的整理和归纳.如对做过的试卷进行改错，明确哪些是明明会做却做错了的题；哪些是模棱两可、似是而非的题，也就是不能确定对错，反复修改的题.其实，出现这些问题的原因是：记忆不准确，理解不够透彻，应用不够自如.“错误是最
2、好的老师”，考生在平时的学习过程中，一定要主动总结、及时纠错，做好题后的反思工作，避免下次再犯类似的错误.,一、集合1忽视空集等概念，导致解题失误空集是不含任何元素的集合，AB，则表示集合A与集合B没有公共元素另外，在处理有关AB的问题时，一定要分A和A两种情况进行讨论,【答案】A,【解析】当B时，a12a1a0，符合题意；,当B时，,2忽视集合元素的互异性致误集合中的元素具有三个特性：无序性，确定性，互异性集合中元素的互异性，即集合中任何两个元素都是不同的，因此集合中的元素没有重复的，忽视互异性会引出错解,已知集合Aa2，(a1)2，a23a3，B(a1)2,5，若AB1，则实数a的值为()
3、A0 B1 C2 D2或0【解析】根据题意有(a1)21，a0或a2，当a2时，(a1)2a23a3，与元素的互异性相矛盾，因此a0.【答案】A,3忽视不等式解集的端点值致误进行集合运算时，可以借助Venn图或数轴帮助我们理解和求解运算，同时一定要注意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”,设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB()Ax|0 x1【解析】Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，AUBx|0 x1【答案】B,二、简易逻辑1四种命题的结构不明确致误在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性一旦一
4、个命题为原命题，也就相应地有了它的逆命题、否命题和逆否命题,(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【解析】因为一个命题的否命题是对其条件与结论都进行否定，对“f(x)是奇函数”的否定为“f(x)不是奇函数”，“f(x)是奇函数”的否定为“f(x)不是奇函数”故选B.【答案】B,2充分、必要条件颠倒致误p是q的充分条件表示为pq，p是q的必要条件表示为qp.解题时最容易出错的就是颠倒了
5、充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要根据充要条件的概念作出准确的判断,“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件,【答案】C,3对含有量词的命题的否定不当致误对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词，变为特称命题特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词，而不否定被省略的全称量词,命题“对任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210B存在xR，x3x210C存在xR，x3x210D对任意的xR，x3x210【
6、答案】C,4忽视“否命题”与“命题的否定”的区别致误“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论，而“命题p的否定”只是否定命题p的结论，搞清它们的区别是解决此类问题的关键,命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题为_【答案】面积不相等的三角形不是全等三角形,三、函数的概念及其性质1疏忽函数的定义域致误函数的定义域是构成函数的三个要素中起决定作用的因素之一，它对函数的值域和其他性质都起着制约作用在实际解题过程中，如果我们忽视了这种制约作用，就会出现错误,若2x26xy20，则x22xy2的最大值是_【解析】因2x26xy20，故y26
7、x2x2，x22xy2(x4)216，因y26x2x20，故0 x3，所以当x3时，所求式子取得最大值15.【答案】15,2函数值域和范围混淆致误如果函数y3x22(m3)xm3的值域为0，)，求实数m的取值范围【错解】因为y的值域为0，)，由y0恒成立的条件，得2(m3)243(m3)0，解得3m0，故m的取值范围是3m0.,【错因】错解将函数y3x22(m3)xm3的值恒为非负数，与函数y3x22(m3)xm3的“值域”为0，)相混淆，造成了误用判别式的解法事实上，当y恒为非负数时，是指当自变量x在定义域内取一切值，所对应的y的每个值都必须大于等于0，但y不一定必须取到大于等于0的一切数而
8、函数y3x22(m3)xm3的值域为0，)，是指“当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须能且只能取到一切大于0的数”,3不理解分段函数的概念导致失误由于分段函数的解析式不统一，需要对自变量的取值加以讨论，分段进行解决，然后取其公共部分,【答案】B,4滥用函数的性质致误设函数yf(x)的定义域在实数集上，则函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于()A直线y0对称 B直线x0对称C直线y1对称 D直线x1对称,【错解】函数的定义域在实数集上，且f(x1)f(1x)，函数yf(x)的图象关于直线x0对称故选B.,【错因】上述解法的症结在于滥用性质“若定义在实数集上的函数f(x)满足f(
9、ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称”，这个结论只适用于同一个函数的自身对称问题，若两个函数的对称问题套用这个结论，必然会得到一个错误答案【正解】yf(x1)的图象可以看作是由yf(x)的图象向右平移1个单位而得到的，yf(1x)f(x1)的图象可以看作是由yf(x)的图象向右平移1个单位而得到的，而yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0对称，yf(x1)与yf(1x)的图象关于直线x1对称故选D.,四、基本初等函数()1未注意底数的范围致误底数的大小直接决定着指数和对数函数的单调性，尤其是在没有给出具体的值时，需要进行讨论,若指数函数f(x)ax(a0，且a1)满足f(
10、2)0.592，则不等式f1(|x|)1Cx|0 x1 Dx|1x0或0 x1,【解析】由f(x)ax，得f1(x)logax，而f(2)a20.592，有a1，得f1(|x|)0，有loga|x|0loga1，得0|x|1，即1x0或0 x1.故选D.【答案】D,2复合函数的性质不熟致误,五、导数1切点不明确致误在求曲线的切线问题时，要注意区分切线是过某点的切线还是在某点的切线，即必须注意“在”与“过”的问题,【答案】B,2导数与单调性关系不清致误研究函数的单调性与其导函数的关系时要注意以下细节问题，否则极易出错：f(x)0(x(a，b)是f(x)在(a，b)上单调递减的充分不必要条件，实际
11、上，可导函数f(x)在(a，b)上为单调递增(减)函数的充要条件为：对于任意x(a，b)，有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零,3导数与极值关系不清致误f(x0)0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f(x)在x0两侧异号,已知函数g(x)ax3bx2cxd(a0)，其中g(x)是R上的奇函数，当x1时，g(x)取得极值2.求函数g(x)的单调区间和极大值,六、不等式1忽视不等式的性质致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时，一定要注意不等式成立的条件，特别是不等式两端同时乘以或除以一个数式
12、、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意其满足的条件，如果忽视前提条件就会出现错误,【答案】3,2忽视均值不等式应用条件致误在运用均值不等式时，要注意“正、定、等”三个方面，“正”是运用均值不等式的前提条件，“定”是我们求解最值的先决条件，“等”是最值能否取到的重要条件，三方面缺一不可,【答案】B,3分类讨论不当致误当参数在不等式的某些特殊位置时，其分类有一定规律，一般要对最高次幂的系数是否为零进行分类讨论，然后解不等式时再比较各根的大小写不等式的解集时，应根据参数的不同取值范围分别写出解集，而不能把解集并起来,解关于x的不等式20 x2mxm20.,当m0时，原不等式的解集为
13、.,4解不等式时变形不当致误解分式不等式通常先转化为整式不等式，但在转化过程中应该注意分母不能为零,【答案】D,七、线性规划1平面区域不明确致误一条直线AxByC0把平面分为两个半平面，在每个半平面内的点(x，y)使AxByC值的符号一致，判断AxByC的符号可以采用特殊点法,2寻找最优整数解的方法不当致误线性规划问题的最优解一般在可行域的端点或边界处取得，而最优整点解的横纵坐标均为整数，所以最优整点解不一定在边界或端点处取得，一般先把端点或边界处的整点找出，然后代入验证,某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t救援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t
14、的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元，B型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的费用最低,已知角的终边上一点P与点A(3,2)关于y轴对称，角的终边上一点Q与点A关于原点对称，那么sin sin 的值等于_,【答案】0,2忽视三角函数的定义域致误,【错因】化简三角函数式之前，忽略了函数的定义域,函数 的最小正周期为,3三角函数图象平移中方向把握不准确致误在对图象进行平移或伸缩时，都是只针对x本身而言的，平移只是在x本身加上(或减去)某个值，伸缩只是给x本身乘以某个值，与其他量无关,4忽视正、余弦函数的
15、有界性致误许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时易忽略正、余弦函数的有界性,求函数y(sin x2)(cos x2)的最大值和最小值,九、三角恒等变换与解三角形1三角恒等变换错误致误三角恒等变换是解决三角函数问题的主要手段，在进行三角恒等变换时，要注意公式使用正确，变换过程中运算准确,2变形过程不等价致误,3忽视“配角”思想的运用致误,4忽视了角的有效范围,十、平面向量1概念不清致误对向量基本概念的理解和应用是学好向量问题的必备条件，不但要准确理解，而且要确保应用无误,已知下列命题：若kR，且kb0，则k0或b0；若ab0，则a0或b0；若不平行的两个非零向量a，b满足
16、|a|b|，则(ab)(ab)0；若a与b平行，则ab|a|b|.其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】是对的；还可得到ab；(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20；两向量平行时，夹角为0或180，ab|a|b|cos|a|b|.故选C.【答案】C,2忽视零向量性质致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4,【解析】认为正确是忽略了0与0的区别由|a|0，知a是零向量，但00；认为正
17、确是把两个向量的模相等和两个实数的绝对值相等相混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或是相反的；认为正确是对两个向量平行的意义理解不透彻两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等只有是正确的，故选A.【答案】A,3两向量夹角的含义不清致误,4实数运算与向量运算混淆致误,已知非零向量a、b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，则a与b的夹角为_,十一、数列1忽视公式anSnSn1成立的条件致误,2辨别不清数列中奇偶项的变化规律致误,列an中，an1an3n54(nN*)若a120，求数列的通项公式,3找错数列对应项与
18、项数间的关系致误,【错因】在两个数列相应的项数对应的问题中，要注意两者的对应要正确错解中错误地认为数列bn的第n项即为数列an的第2n项，其实应该是数列bn的第n项即为数列an的第2n1项要注意数列对应的正确性,4错误类比等差、等比数列的性质,在等差数列an中，a2a7a9为常数，则其前_项和也为常数,【错因】错解中所使用的结论a2a7a9a18a1a17是错误的，答案自然也是错误的【正解】设等差数列an的前k项和为常数，即a1ak为常数，而a2a7a93a6为常数，2a6a1a11为常数，即前11项和为常数，故填17.,5等比数列求和忽视“q1”的情况,若c0且c1，求和Snc2c4c2n.
19、,【解】当c1时，c21，Snn，当c1时，Sn,6裂项相消时找不清规律致误对于分式型数列求和，多用裂项相消法，其关键是对通项公式进行拆分，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项，保留了哪些项，若不能准确找出规律，就会导致错误,7用错位相减法求和时项数处理不当致误在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当，导致漏掉项或添加项，这是这类求和问题最容易出现错误的地方,十二、直线与圆1忽视倾斜角的范围致误经过点(2,3)，倾斜角是直线3x4y50倾斜角一半的直线的方程是_,【错因】此解法只注意到了角是二倍的关系，而忽视了直线的倾斜角的范围这一隐含条件,2忽视斜率不存在致误讨论两条直线的位置关系时，
20、首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行讨论在求解直线方程时，有时也忽略斜率不存在的情况已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值,经过点(2,1)且原点到直线的距离为2的直线方程,3忽视零截距致误要搞清楚截距的概念，在解决这类问题时，一定不要忽略截距为0这种特殊情况，否则就会出现错误已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_,【答案】5xy0或xy60,4遗漏方程表示圆的充要条件注意二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，在此条件下，再根据其他条件求解，深刻理解圆的一般方程具有的特点才
21、能避免失误,关于x，y的方程C：x2y22x4ym0.若方程C表示圆，实数m的取值范围为_【解析】要使该方程表示圆，只需(2)2(4)24m 0，解得m5.所以方程C表示圆时，实数m的取值范围是(，5)【答案】(，5),5错用判别式致误,十三、圆锥曲线1忽视圆锥曲线定义中的限制条件已知定圆F1：x2y210 x240，F2：x2y210 x90，动圆M与定圆F1、F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_,【错因】实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支，而非整条双曲线，上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”,2缺乏分类意识，以偏概全致误,【错因】本题中的椭圆的焦点也可能在y轴上，故有两个解,3离
22、心率范围求解错误求椭圆、双曲线的离心率时，要明确两曲线离心率的范围,4解决直线与圆锥曲线的相交问题时忽视0的条件,十四、立体几何1三视图识图不准致误由三视图判断直观图时，要注意实线和虚线的区别，实线是能在投影平面上看得见的，而虚线在投影图中看不到,一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是()A4B4(1)C5D6,【答案】B,2对斜二测画法的规则不清楚致误利用斜二测画法的规则为“横同、竖变、平行性不变”在运用上面的变与不变的内容处理问题时通常会忽视长度与角度的变化而出错,如图所示的是水平放置的某平面四边形OABC的直观图OABC，其中OACB，OA2，CB1，OC1，试判断该
23、四边形的形状，并求其面积,3表面积的计算漏掉底面考虑问题要全面，特别在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分，细心加小心是避免此类错误的关键某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为(),【答案】D,4对空间点、线、面位置关系认识不清致误解决点、线、面位置关系的基本思路有二：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致,设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是()A若、都平行于直线m、n，则B若m，n，m，n，则C若，m，则m
24、D若，m，m，则m,【解析】因为，所以可以在平面内作直线n垂直于与的交线，则n，又m，所以mn，m，由直线与平面平行的判定定理可得m，故选D.【答案】D,5忽略空间角的范围致误,【错因】在利用向量求异面直线所成角时忽视了异面直线所成角的范围，直接利用两直线的方向向量的夹角，表示异面直线所成的角而致错,6分不清折叠前后量的变化致误求翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题,如图，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起，使FDA60，得到一个空间几何体(1
25、)求证：BE平面ADF；(2)求证：AF平面ABCD.,十五、计数原理与二项式定理1“加法”与“乘法”原理混淆致误排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为(),【答案】B,2“排列”与“组合”概念混淆致误界定排列与组合问题是排列还是组合？惟一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，若排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法,有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，则不同的排法
26、有_种,【答案】56,4项系数与二项式系数混淆致误二项式系数与各项系数是两个既有联系又有区别的概念，二项式系数是展开式中各项所含有的组合数，即C(n0,1,2，n)，项的系数是各项的字母系数当二项式的两项本身的系数都为1时，展开式的二项式系数就是各项系数；当二项式的两项本身的系数不都为1时，则另作别论,【答案】36,十六、概率1误解基本事件的等可能性致误若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为_,【错因】解本题时易出现的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地
27、认为基本事件总数为11(点数和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12)，或者将点数和为4的事件错误计算为(1,3)，(2,2)两种，从而导致错误,2几何概型概念不清致误在确立几何概型的基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性，要根据题意，选取正确的几何概率模型进行求解在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在ABC的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率,3互斥与对立相混淆致误如果用集合来表示两个事件，互斥事件的两个集合的交集是空集，如果其并集是全集则这两个互斥事件也是对立事件在解答与这两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现
28、错误,对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一弹击中飞机，D至少有一弹击中飞机，其中彼此互斥的事件是_；互为对立事件的是_【解析】因为AB，BC，BD.故A与B，B与C，B与D为彼此互斥事件，而BD，BDI，故B与D互为对立事件【答案】A与B，B与C，B与DB与D,4对二项分布理解不准致误二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的，相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决,某气象站天气预报的准确
29、率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率,已知随机变量X的概率只能取三个值a、b、c，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_,某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出60名，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：,(1)求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分【错解】设分数在70,80)内的频率为x，根据
30、频率分布直方图，则有0.010.01520.0250.005x1，可得x0.93.【错因】在解统计与概率综合的题目过程中，直方图是出现频率最高的一个图形，极易凭感觉认为直方图的高就是频率，从而导致计算出错,3.剔除个体时误认为总体变化,【错因】错误原因是对抽样的基本原则理解不透，抽样的基本原则为公平性，在求被剔除和被选取的概率时把总体容量进行了改变，总体容量是2006而不是2000.,十八、推理与证明，算法初步，复数1循环结束的条件判断不准致误如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是()Ak6?Bk7?Ck8?Dk9?,【错因】容易出错的就是
31、不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出结果为720.【正解】第一次运行结果为S10，k9；第二次运行结果为S10990，k8；第三次运行结果为S720，k7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k8？.故选C.,2条件结构对条件的判断不准致误,运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是0,10，则输入的x的值的范围是_,【错因】这是一个计算分段函数值的程序框图，写出这个分段函数，然后根据函数值的范围确定自变量的范围即可容易出错的地方有两个：一是对判断条件和函数值的对应
32、关系不清，如把x1，可能漏掉其端点值，也可能把1x1写成了x1等,3复数的概念不清致误设x0，若(xi)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x_.【错因】对纯虚数的概念理解不清，或是忽视了x0的限制条件，误填x1.【正解】对于(xi)2x212xi，因为是纯虚数，所以x1，结合x0，得x1.故填1.,4归纳不准致误如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：,【错因】本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准确“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系,
