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1、第四讲、间接效用函数与支出最小化,西南财经大学经济学院袁正,这是直接效用函数,代入初始的直接效用函数：,这就是间接效用函数,请验证罗伊恒等式,马歇尔需求函数,消费者最优的两种思路,相同支出下，追求效用最大化。相同效用下，追求支出最小化。这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经济学称为对偶性。,支出最小化,Min E(P,U)S.t.U(x1,x1)=u0,等边际原则,预算线与无差异曲线相切,希克斯需求,价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。,s.t.,举例：,求希克斯需求函数，支出函数,构建拉格朗日函数：,这就是希克斯需求函数xh(P,U),代入支
2、出函数：,这就是支出函数,马歇尔需求函数与希克斯需求函数的区别,希克斯需求函数 xh(P,U),马歇尔需求函数,谢泼德引理(shephards lemma),请验证谢泼德引理,马歇尔Demand Curve,Quantity of y,Quantity of x,Quantity of x,px,As the price of x falls.,效用比较,希克斯Demand Curves,Quantity of y,Quantity of x,Quantity of x,px,Holding utility constant,as price falls.,xh(P,U),效用最大化和支出最小
3、化是对偶问题,支出最小化,效用最大化和支出最小化,一个侧重于相同的支出，获得最大的效用一个侧重于相同的效用，获得最小的支出是等价的两个问题,Quantity of x1,Quantity of X2,U(X*)=V(P,y),B,X1*,X2*,y=e(P,U(X*),消费者收入为y,x*=(x1*,x2*)为效用最大化的解，那么当效用水平为U(x*)时，x*也是支出最小化的解，而且最小支出正好为y,下列几个等式成立,Quantity of x1,Quantity of X2,U=V(P,p1x1*+p2x2*),B,X1*,X2*,e(P,U)=p1x1*+p2x2*=y,当效用为U时，X*
4、=(x1*,x2*)是支出最小化的解，当收入为p1x1*+p2x2*时，X*也是效用最大化的解，而且，此时的效用水平正好为U,下列等式成立,价格变化的总效应,Quantity of x,Quantity of y,马歇尔需求曲线上的两个点,替代效应和收入效应,一种商品价格的变化会引起该商品需求量变化,这种变化可以分解为替代效应和收入效应一种商品价格的变化，对消费者会产生两种影响：使商品的相对价格发生变化，进而影响消费者的商品消费量(替代效应）。使消费者的实际收入发生变化，进而影响商品的消费量（收入效应）。,C,U1,Quantity of x,Quantity of y,A,On the sa
5、me utility curve,替代效应,Substitution effect,（在效用保持不变，相对价格的变化对需求量的影响。）,C,U1,Quantity of x,Quantity of y,A,收入效应,Income effect（实际收入改变，对需求量的影响）,C,U1,Quantity of x,Quantity of y,A,D,A,C,D,总效应：马歇尔需求曲线,替代效应：希克斯需求曲线,收入效应,价格变化对需求量变化的影响,x1h(p1,p2,U)=x1 p1,p2,e(p1,p2,U),这就是斯勒茨基方程,替代效应总是反向希克斯需求曲线的斜率总是为负。正常物品，x/y
6、0收入效应为反向低档物品，x/y 0收入效应为同向,正常物品,替代效应 收入效应 总效应 反向 反向 反向P下降，需求量上升P上升，需求量下降,低档物品,替代效应 收入效应 总效应 反向 同向 反向替代效应大于收入效应，总效应为反向P下降，需求量上升P上升，需求量下降,吉芬物品,替代效应 收入效应 总效应 反向 同向 同向收入效应大于替代效应，总效应为同向P下降，需求量下降P上升，需求量上升,吉芬物品,违背需求定理的物品，即随着价格的上升，需要量反而增加，随着价格的下降，需求量减少。,斯勒茨基替代效应,希克斯替代效应：假设效用不变斯勒茨基替代效应：假设购买力不变。研究的方法：把价格变化的效应分
7、成两个部分，分两步走第一步：购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动，得到单纯的替代效应第二步：相对价格不变，购买力变动，表现为预算线平移，得到单纯的收入效应,价格变化导致需求量的变化,X1价格降低，预算线外转,x2,x1,x2,x1,x1,Pure Substitution Effect,x2,怎么看出购买力没有发生变化？,原需求束（x1,x2)仍然处在转动后的预算线上,思考：转动后的预算线所代表的收入相对于最初的收入有何变化？,替代效应,购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动,围绕初始选择点转动,m=p1x1+p2x2m=p1x1+p2x2m-m=(p1-p1)x1m=p1x
8、1P1下降，收入也下降商品价格下降时，消费者的购买力就会提高，要保持购买力不变，就必须减少消费者的收入,And Now The Income Effect,(p1,p2)保持不变,收入从m增加到m,需求的总变动（The Overall Change in Demand）,总效应替代效应收入效应,显示偏好（Revealed Preference）,由预算约束和消费者偏好得出消费者需求反过来,利用消费者需求信息得出消费者的偏好偏好不容易观察到人们的购买行为容易观察到观察人们的行为来得出他们的偏好,要假设其购买时偏好没变,显示偏好的概念,严格凸的无差异曲线，对应每条预算线，有且只有一个需求束（x1,
9、x2),(X1,X2),(Y1,Y2),消费者选择了(X1,X2)消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之p1x1+p2x2p1y1+p2y2(X1,X2)被直接显示偏好于(Y1,Y2)预算足以选择(Y1,Y2)，结果选择了(X1,X2),直接显示偏好,显示偏好原理,人们总是选择满足预算的最好的东西消费者选择了(X1,X2)在同样的预算下，消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之，即p1x1+p2x2p1y1+p2y2则(X1,X2)(Y1,Y2)图形上，另一个消费束在所选择的点的预算线的下边。,p,间接显示偏好,X直接显示偏好于YY直接显示偏好于ZX间接显示偏好于Z,x2,x1,x,y,
10、z,X直接显示偏好于ZX间接显示偏好于Z,消费者选择的是他能够购买的最好的东西他有能力购买却没有购买的东西比被购买的东西要差,显示偏好弱公理,如果(X1,X2)被直接显示偏好于(Y1,Y2),且(X1,X2)与(Y1,Y2)不同,那么(Y1,Y2)就不可能直接显示偏好于(X1,X2)以(p1,p2)购买(X1,X2),以(q1,q2)购买(Y1,Y2)只要p1X1+p2X2p1Y1+p2Y2就不可能有q1Y1+q2Y2q1X1+q2x2如果选择消费束X时,有能力购买Y,那么在选择Y时,就无力购买X,同时选择了X,Y,则违反显示偏好弱公理,作业,推导斯勒茨基方程，并分解价格变化对需求量变化的影响效用函数为U=LNX1+LNX2,，求希克斯需求函数，支出函数，验证谢泼德引理。比较希克斯替代效应和斯勒茨基替代效应的区别，图示之,
