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1、第二章 平面向量 单元复习,知识结构,实际背景,基本定理,坐标表示,数量积,线性运算,向量的概念及其几何运算,知识梳理,1.向量的有关概念,（8）向量的数量积：,（5）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（6）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,（7）平行向量（共线向量）：,方向相同或相反的非零向量.,ab=|a|b|cos.,三角形法则:,2.向量的几何运算,（1）加法运算：,平行四边形法则:,（2）减法运算：,三角形法则:,平行四边形法则:,（3）数乘运算：,3.向量定理,（1）共线定理：,（2）基本定理：,向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,若e1、e2是
2、同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.,范例分析,例1 在ABC中，设 a，b，已知，试以a、b 为基底表示向量.,例2 在ABC中，已知点O满足:，求证：点O是ABC的重心.,例3 在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BD=3BN，试推断点M、N、C是否共线？并说明理由.,例4 在RtABC中，已知斜边BC=2，线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 与 的夹角为60，求.,向量的字符运算,知识梳理,1.向量加法的运算性质,（1）ab=ba；（2）(ab)ca(bc)；（3）若a与b为相反向量，则ab0；（4）
3、若bca，则cab；（5）|ab|a|b|，|ab|a|b|；（6）,2.向量数乘的运算性质,(1)(a)=()a；(2)()a=a a；(3)(ab)=ab；,3.数量积的运算性质,（1）abba；（2）(a)b(ab)a(b)；（3）(ab)cacbc；（4）ab ab0；（5）a2|a|2；（6）|ab|a|b|；,范例分析,例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且a(ab)=12，求向量b在a方向上的投影.,1,例2 已知非零向量a、b满足：(ab)b，且(a2b)(a2b)，求向量a与b的夹角.,60,例3 已知向量a、b、c两两之间的夹角为120，且|a|=1，|b|=2，|c|=
4、3，求向量abc与a的夹角.,150,例4 设向量a、b不共线，已知 2akb，ab，a2b，且A、B、D三点共线，求实数k的值.,k=1,向量的坐标运算,知识梳理,1.向量的坐标表示,（1）设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若axiyj，则a(x，y)；,（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则(x2x1，y2y1).,2.向量的坐标运算,范例分析,例1设向量a(1，3)，b(2，4)，c(1，2)，若表示向量4a，4b2c，2(ac），d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标.,d(2，6),例2 已知向量(3，1)，(1，2)，且，求向量 的坐标.,(11，6),例3 已知向量a(2，3)，b(4，3)，求向量a在b方向上的投影.,例4 设向量a与b的夹角为，已知 ab(2，8)，ab(8，16)，求cos的值.,例5 已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|=，若(ab)c=，求向量a与c的夹角.,120,
