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1、2023/9/5,1,信号与系统,Signals and System,第三章 周期信号的傅立叶级数表示,2023/9/5,2,本章内容：,.周期信号的频域分析,.LTI系统的频域分析,.傅立叶级数的性质,2023/9/5,3,3.0 引言 Introduction,时域分析方法的基础：信号在时域的分解。LTI系统满足线性、时不变性。,2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。,1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。,从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：,2023/9/5,4,3.1历史的回顾（A Historical Perspective）,任何科学理论,科学方
2、法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。,2023/9/5,5,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,傅里叶生平,17681830,2023/9/5,6,傅里叶的两个最重要的贡献,“周期信号都可以表示为成谐波
3、关系的正弦信 号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”傅里叶的第二个主要论点,2023/9/5,7,由时域分析方法有，,2023/9/5,8,可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明 和 符合对单元信号的第一项要求。,特征函数(Eigenfunction),如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。,2023/9/5,9,结论：,只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。,复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数
4、信号相对应的特征值。,对时域的任何一个信号 或者,若能将其表示为下列形式：,2023/9/5,10,利用系统的齐次性与叠加性,*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？,2023/9/5,11,Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals,3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示,如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，,一.连续时间傅里叶级数,成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。,2023/9/5,12,例1：,
5、显然 也是以 为周期的。该级数就是傅里叶级数，称为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。,有,2023/9/5,13,例2：,显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子，即傅立叶系数。,傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。,2023/9/5,14,二.频谱（Spectral）的概念,在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。,信号集 中的每一个信
6、号，除了成谐波关系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。,2023/9/5,15,分量 可表示为,因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数 时，就可以将 表示为,这样绘出的图称为频谱图,表示为,2023/9/5,16,频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。,三.傅里叶级数的其它形式,2023/9/5,17,即：,表明 的模关于 偶对称，幅角关于 奇对称。,2023/9/5,18,傅里叶级数的三角函数表示式,2023/9/5,19,因此,即 的实部关于 偶对称，
7、虚部关于 奇对称。,傅里叶级数的另一种三角函数形式,将此关系代入，可得到,2023/9/5,20,四.连续时间傅里叶级数系数的确定,对两边同时在一个周期内积分，有,2023/9/5,21,即,在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为,是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。,2023/9/5,22,五.周期性矩形脉冲信号的频谱,其中,2023/9/5,23,根据 可绘出 的频谱图。称为占空比,2023/9/5,24,不变 时,2023/9/5,25,不变 时,2023/9/5,26,周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性 2.谐波性 3.收敛性
8、,考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：,当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.当 改变，不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。,2023/9/5,27,当 时，有,当 时，有,表明：奇信号的 是关于 的奇函数、虚函数。,表明：偶信号的 是关于 的偶函数、实函数。,信号对称性与频谱的关系：,2023/9/5,28,3.4 连续时间傅里叶级数的收敛,这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。,
9、一.傅里叶级数是对信号的最佳近似,Convergence of the Fourier series,2023/9/5,29,误差为,以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为,于是：,2023/9/5,30,其中,2023/9/5,31,二.傅里叶级数的收敛,傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在?级数是否收敛于?,两组条件：1.平方可积条件：如果 则 必存在。在一个周期内能量有限，一定存在。,2023/9/5,32,2023/9/5,33,这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。,几个
10、不满足Dirichlet条件的信号,2023/9/5,34,三.Gibbs现象,满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于?,2023/9/5,35,2023/9/5,36,2023/9/5,37,用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。,Gibbs现象表明：,2023/9/5,38,Properties of Continuous-Time Fourier Serie
11、s,3.5 连续时间傅里叶级数的性质,学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。,一.线性：,2023/9/5,39,二.时移:,三.反转:,四.尺度变换:,2023/9/5,40,令，当 在 变化时，从 变化，,于是有：,五.相乘:,也即,2023/9/5,41,六.共轭对称性:,由此可推得，对实信号有：或,2023/9/5,42,七.Parseval 定理：,表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.,*掌握表3.1,2023/9/5,43,例1：,例2：周期性矩形脉冲,将其微分后，可利用例1表示为,2023/9/5,44,根据时移特性，有,由例1知,20
12、23/9/5,45,Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals,一.离散时间傅里叶级数（DFS）Discrete-Time Fourier Series,考察成谐波关系的复指数信号集:该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的。,3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示,2023/9/5,46,这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中 也称为周期信号 的频谱。,二.傅里叶级数系数的确定,给 两边同乘以，得：,2023/9/5,47,而,显然 仍是以 为周期的，对两边求和,202
13、3/9/5,48,对实信号同样有：,显然上式满足，即 也是以 为周期的，或者说 中只有 个是独立的。,2023/9/5,49,三.周期性方波序列的频谱,2023/9/5,50,显然 的包络具有 的形状。,时,2023/9/5,51,周期性方波序列的频谱,2023/9/5,52,当 不变、时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。当 改变、不变时，由于 的包络具有 的形状，而，可知其包络形状一定发生变化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。,2023/9/5,53,三.DFS的收敛,DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系式也
14、是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。,周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。,2023/9/5,54,1.相乘,2.差分,周期卷积,Properties of Discrete-Time Fourier Series,3.7 DFS的性质,DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。,2023/9/5,55,3.时域内插,若 以N为周期，,则 以mN为周期。,令,令，则有,时,2023/9/5,56,4.Paseval定理,左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。,2023
15、/9/5,57,3.8 傅里叶级数与LTI系统,Fourier Series and LTI Systems,LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。,对连续时间系统,对离散时间系统,、被称为系统的系统函数。,2023/9/5,58,对 而言，是以 为周期的。,如果一个LTI系统输入周期性信号 或,2023/9/5,59,则,*可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。,2023/9/5,60,例：某离散时间LTI系统，输入为，求输出。,即：,2023/9/5,61,由,得,2023/9/5,6
16、2,3.9 滤波,1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）,The Ideal Frequency-Selective Filters,一.滤波,通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。,滤波器可分为两大类：,2023/9/5,63,二.理想频率选择性滤波器的频率特性,理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。,理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。,滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band），完全不允许信号通过的频段称
17、为阻带（stop band）。,2023/9/5,64,连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性,2023/9/5,65,离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性,2023/9/5,66,各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。,三.理想滤波器的时域特性,以理想低通滤波器为例,2023/9/5,67,各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。,三.理想滤波器的时域特性,以理想低通滤波器为例,2023/9/5,68,由傅里叶变换可得:,2023/9/5,6
18、9,对离散时间理想低通滤波器有：,2023/9/5,70,如果理想低通滤波器具有线性相位特性,则,2023/9/5,71,理想低通滤波器的单位阶跃响应,令,2023/9/5,72,由于,2023/9/5,73,对离散时间理想低通滤波器，相应有：,从理想滤波器的时域特性可以看出：,2023/9/5,74,3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。,1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的；,2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。h(t)或h(n)都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的时域特性与频域特
19、性并不兼容。,2023/9/5,75,非理想滤波器 The Nonideal Filters,对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。,由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想滤波器。,非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。,2023/9/5,76,2023/9/5,77,通常将偏离单位增益的 称为通带起伏（或波纹），称为阻带起伏（或波纹），称为通带边缘，为阻带边缘，为过渡带。,非理想低通滤波器的容限,2023/9/5,78,它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性。,工程实际中常用
20、的逼近方式有：,1.Butterworth滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；,2.Chebyshev滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；,3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。,2023/9/5,79,2.包络时延Chebyshev滤波器：包络时延等起伏逼近；,对同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。,从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有,1.Bassel滤波器：群时延最平伏逼近；,3.Gauss滤波器。,2023/9/5,80,2023/9/5,81,5阶Butterworth滤波器与5阶Cauer滤波器的比较,2023/9/5,82,单位阶跃响应：,2023/9/5,83,2023/9/5,84,3.12 小结 Summary,本章主要讨论了：复指数函数是一切LTI系统的特征函数。建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。,2023/9/5,85,通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的频率响应及LTI系统对周期信号的响应。,
