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1、第六章 离散系统的z域分析,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析,6.1 z变换,一、从拉氏变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到:,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,令，上式将成为复变量z的函数，用 表示；，得,序列f(k)的双边z变换,序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z)=Zf(k)f(k)=Z-1F(z)f(k)F(z),6.1 z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对
2、可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,的所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,6.1 z变换,例1：有限长序列的z变换(1)f1(k)=(k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1,解：(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),收敛域为 0z,6.1 z变换,的双边z 变换为：,的单边z 变换为：,收敛域为 z 0,6.1 z变换,由于序列是有限长的，则F(z)是有限项级数和，所以F(z)除了在 0和处外都收敛，有时在0和处也收敛。,结论一：有限长序列的收敛域是，要讨论 0和两
3、点。,例2：因果序列,解：,z a 时，其z变换存在。,6.1 z变换,结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。,例3：反因果序列,解：,b-1z1，即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z|b|,6.1 z变换,结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。,例4：双边序列,解：,收敛域为azb（显然要求ab，否则无共同收敛域),6.1 z变换,结论四：双边序列的收敛域是环状区域。,注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。,例：,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。,常用序列的z变换：,(k)1，z0,(k),，z1,，z1,(k 1),6.1
4、z变换,一、线性,6.2 z变换的性质,其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：2(k)+3(k),，z1,2+,6.2 z变换的性质,二、移位（移序）特性,单边、双边差别大！,对于双边Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息；而对于单边Z变换，移位后的序列较原序列长度有所增减。,双边z变换的移位：,且对整数m0，则,单边z变换的移位：,6.2 z变换的性质,且对整数m0，则,特例：若 为因果序列，则,6.2 z变换的性质,例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解：,，z1,例2：求 的单边z变换F(z)。,解：,6.2 z变换的性质,三、序列乘ak(z域尺度变
5、换),例1：,例2：,6.2 z变换的性质,且有常数a0，则：,若a换为a1,则：,四、卷积定理,对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列,其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：求 的z变换。,解：,6.2 z变换的性质,五、序列乘k（z域微分）,若 则,z,例：求 的z变换F(z)。,解：,6.2 z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分）,若，设有整数m，且k+m0，,则,z,若m=0,且k0，则,例：求序列 的z变换。,解：,6.2 z变换的性质,七、k域反转(仅适用双边z变换）,例：求a k(k 1)的z变换。,解：,，|z|a|,，|z|1/|a|
6、,乘a得,，|z|1/|a|,6.2 z变换的性质,八、部分和,max(,1)z,例：求序列(a为实数)(k0)的z变换。,解：,，|z|max(|a|,1),6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 则序列的初值,对因果序列f(k),6.2 z变换的性质,终值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)F(z)，z 且01 则序列的终值,含单位圆,6.2 z变换的性质,例：已知因果序列的象函数，求序列的初值和终值。,6.3 逆z变换,求逆z变换的方法有：幂级数展开法;部分分式展开法;反演积分（留数法）
7、。,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即 f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)(k 1)+f(k)(k)相应地，其z变换也分为两部分 F(z)=F2(z)+F1(z)，|z|,当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得原序列f(k)。,一、幂级数展开法,例：已知象函数,其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。（1）|z|2(2)|z|1(3)1|z|2,6.3 逆z变换,Z的幂级数,Z-1的幂级数,思路：将F(z)展开为上式的形式，
8、其系数即为f(k)。,解：,（1）|z|2，f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展 开为z-1的幂级数：z2/(z2-z-2)=1+z-1+3z-2+5z-3+,f(k)=1，1，3，5，k=0,（2）z1，f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数:,6.3 逆z变换,k=2,（3）1z2，f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有,即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有,难以写成闭合形式。,6.3 逆z变换,k=0,二、部分分式展开法,6.3 逆z变换,mn时先从F(z)中分出常数项，再将余下的真分式展开为 部分分式。其方法与第五章中F(s)展开方法相
9、同。,根据极点的类型，的展开有几种情况：,1）单极点；2）共轭单极点；3）重极点,（1）F(z)均为单极点，且不为0,根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z)两部分，根据已知的变换对，求得原函数。,(k)1,6.3 逆z变换,例1：已知象函数,其收敛域分别为：（1）z2(2)z1(3)1z2,解:部分分式展开为,(1)z2，因果序列,(2)z1，反因果序列,(3)1z2，双边序列,6.3 逆z变换,例2：已知象函数,1z2,的逆z变换。,解:,由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足z1，后两项满足z2。,6.3 逆z变换,（2）F(z)有共轭单极点,z1,2=cjd=ej
10、,则,令K1=K1ej,若z,f(k)=2K1kcos(k+)(k)若z,f(k)=2K1kcos(k+)(k 1),（3）F(z)有重极点,6.3 逆z变换,F(z)展开式中含 项(r1)，,若z,对应原序列为,6.3 逆z变换,当r=3时，为,可这样推导记忆：Zak(k)=,两边对a求导得 Zkak-1(k)=,再对a求导得 Zk(k-1)ak-2(k)=,故 Z0.5k(k-1)ak-2(k)=,6.3 逆z变换,当r=2时，为 kak-1(k),例3：已知象函数,，z1,求其原函数。,解：,f(k)=k(k-1)+3k+1(k),6.3 逆z变换,6.4 z域分析,差分方程的变换解 系
11、统的z域框图 利用z变换求卷积和 s域与z域的关系 离散系统的频率响应,6.4 z域分析,一、差分方程的变换解,设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。,取单边z变换得,系统函数,h(k)H(z),例1：若某系统的差分方程为 y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)+2f(k 2)已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)=(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。,解:,方程取单边z变换,6.4 z域分析,Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z),6.4 z域分析,例
12、2：某系统，已知当输入f(k)=(1/2)k(k)时，其零状态响应,求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。,解:,h(k)=3(1/2)k 2(1/3)k(k),6.4 z域分析,再求g(k)?,二、系统的z域框图,另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和z域框图相同。,6.4 z域分析,例3：某系统的k域框图如图，已知输入f(k)=(k)。(1)求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yzs(k)。(2)若y(-1)=0，y(-2)=0.5，求零输入响应yzi(k)。,解:(1)画z域框图,z-1,z-1,F(z),Yzs(z),设中间变量X(z),X(z),z-1X(z),z-
13、2X(z),X(z)=3z-1X(z)2z-2X(z)+F(z),Yzs(z)=X(z)3z-1X(z)=(1 3z-1)X(z),6.4 z域分析,h(k)=2(2)k(k),当f(k)=(k)时，F(z)=z/(z-1),yzs(k)=2k+32(2)k(k),(2)由H(z)可知，差分方程的特征根为1=1，2=2,6.4 z域分析,yzi(k)=Cx1+Cx2(2)k,由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有,Cx1+Cx2(2)-1=0,Cx1+Cx2(2)-2=0.5,Cx1=1,Cx2=-2,yzi(k)=1 2(2)k,三、利用z变换求卷积和,例：求2k(k)*2-k(k),解：
14、,原式象函数为,(k-2)*ak(k),6.4 z域分析,四、s域与z域的关系,式中T为取样周期,6.4 z域分析,从S平面到Z平面的映射:,s平面的左半平面（z平面的单位圆（z=0)-z平面的单位圆（z=1)s平面的j轴（=0)-z平面中的单位圆上（z=1)s平面上实轴（=0)-z平面的正实轴（=0)s平面上的原点（=0，=0）-z平面上z=1的点（=1，=0）,6.4 z域分析,由上式可看出：,6.4 z域分析,五、离散系统的频率响应,由于z=esT，s=+j，若离散系统H(z)收敛域含单位园，则,若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应,离散系统频率响应定义为,存在。,令T=
15、，称为数字角频率。,幅频响应,偶函数；,只有H(z)收敛域含单位园才存在频率响应,6.4 z域分析,相频响应,奇函数,设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应,当 时,6.4 z域分析,6.4 z域分析,在正弦指数序列的激励下，系统的稳态响应仍然是一个正弦指数序列；,稳态响应的频率与输入信号的频率相同，但幅度和相位由不同频率点上的确定。,例：某因果系统的差分方程为y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，若激励f(k)=(-1)k(k)，求系统的稳态响应。,若输入,则其正弦稳态响应为,6.4 z域分析,例:图示为一横向数字滤波器。（1）求
16、滤波器的频率响应；（2）若输入信号为连续信f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t)经取样得到的离散序列f(k)，已知信号频率f0=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k)。,6.4 z域分析,解:（1）求系统函数,Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z),H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3,，|z|0,令=TS，z取e j,H(ej)=1+2e-j+2e-j2+e-j3,=e-j1.52cos(1.5)+4cos(0.5),6.4 z域分析,(2)连续信号f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t),经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz),f(k)=f(kTs)=1+2cos(k0Ts)+3cosk(20Ts),令 1=0,2=0Ts=/3,3=20Ts=2/3,所以 H(ej1)=6，H(ej2)=3.46e-j/2,H(ej3)=0,稳态响应为,yss(t)=H(ej1)+2 H(ej2)cosk0Ts+(2)+3 H(ej3)cos2k0Ts+(3),=6+6.92cos(k/3-/2),可见消除了输入序列的二次谐波。,6.4 z域分析,
