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1、数学物理方法,傅立叶变换,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,傅立叶变换,傅立叶级数傅立叶变换狄拉克函数本章小结,傅立叶级数,三角级数定义由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数,基本函数族组成：1，cos(nx)，sin(nx)性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；,傅立叶级数,傅立叶展开傅立叶展开定理：周期为2的函数f(x)可以展开为三角级数，展开式系数为,狄利克雷收敛定理 收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；在一个周期内
2、至多只有有限个极值点。收敛结果当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,傅立叶级数,展开举例对称函数对奇函数：,对偶函数：,典型周期函数(周期为2),傅立叶级数,傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例如：对称方波的傅立叶展开,傅立叶级数,重要推广推广1：问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：方法：对基本公式作变换xt/L，,傅立叶级数,推广2问题：把定义在-L,L 上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)，再
3、按推广1展开；注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。延拓前 延拓后,傅立叶级数,推广3问题：把定义在 0,L 上的函数 f(x)展开；方法：先把它延拓为-L,L上的奇函数或偶函数，再按推广2把它延拓为周期函数，最后按推广1展开；注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。公式：,傅立叶级数,展开的复数形式展开公式：,基本函数族：,正交性：,展开系数：,傅立叶变换,非周期函数的傅立叶展开问题：把定义在（，）中的非周期函数 f(x)展开；思路：把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L；实施：展开公式,展开系数：,困难展开系数 cn 为无穷小；幂指数 nx/L 不确定。,傅立叶
4、变换,解决方法：把 n/L 作为新变量，即定义n=n/L；把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/.公式的新形式：展开公式：,展开系数：,取极限：傅立叶变换：,傅立叶积分：,傅立叶变换,例题1矩形函数的定义为,求矩形脉冲 x(t)=rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：,傅立叶变换,例题2将矩形脉冲 f(t)=h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出 f(t)的傅立叶变换,代入傅立叶积分公式，得,例题3求对称指数函数f(t)的傅立叶变换,傅立叶变换,傅立叶变换,傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相
5、当于自变量)，F()称为象函数。应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。物理实现分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。,傅立叶变换,傅立叶变换的性质一般假定f(x)F()，g(x)G()奇偶虚实性f(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数；f(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)dx/(2)为虚函数线性性质k f(x)k F()；f(x)+g(x)F()+G()分析性质f(x)i
6、F()；,傅立叶变换,位移性质f(x-a)exp(-ia)F()；exp(ix)f(x)F(-)相似性质f(ax)F(/a)/a；f(x/b)/b F(b)。卷积性质f(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G()；f(x)g(x)F()*G()F()G(-)d对称性质正变换与逆变换具有某种对称性；适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。,傅立叶变换,应用举例,傅立叶变换,推广推广1问题：把定义在 0,)上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数，再按公式进行傅立叶变换；注意：偶函数满足条件f(0)=0，形式为 f(|t|)；奇函数满足条件f(0)=0，形式
7、为 sgn(t)f(|t|).结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。,傅立叶变换,推广2问题：多元函数的傅立叶变换公式：,狄拉克函数,概念问题质点的密度函数如何表示？思路质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限；极限密度为(x)=lim h h rect(hx)一般定义,狄拉克函数,狄拉克函数,性质奇偶性质(-x)=(x)，(-x)=(x)分析性质,选择性质f(x)(x-a)dx=f(a)，f(x)(x-a)dx=-f(a)变换性质,狄拉克函数,狄拉克函数的应用描述功能位于x=a处
8、质量为m的质点，质量线密度为m(x-a)；位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为q(x-a)；位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为I(t-a)；分解功能质量密度为(x)的物体，可分解为质点的空间叠加(x)=(a)(a-x)da电荷密度为(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加(x)=(a)(a-x)da信号函数为(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加(t)=(a)(a-t)da,狄拉克函数,计算功能计算函数在间断点的导数；计算特别函数的傅立叶变换。例题1计算f(x)=sgn(x)的导函数。解：sgn(x)=2 H(x)-1 sgn(x)=2 H(x)=2(x)例题2计算 f(x)=|x|的傅立叶变换。解：,狄拉克函数,狄拉克函数的推广问题：三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。三维狄拉克函数：(r)=(x,y,z)=(x)(y)(z)应用位于r=a处质量为m的质点，质量体密度为m(r-a)；位于r=a处电量为q的点电荷，电荷体密度为q(r-a)；,本章小结,傅立叶级数周期函数的三角展开公式；基本三角函数的性质。傅立叶变换非周期函数的三角展开公式；傅立叶变换的性质。狄拉克函数狄拉克函数概念；狄拉克函数性质；狄拉克函数功能。,作 业,P736-26-4:(3)6-5:(1)6-6:(3)6-7:(1),
