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1、5-2 典型环节频率特性的绘制,一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率从0到无穷变化时，矢量的矢端在 平面上描绘出的曲线。,自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法，主要介绍应用较为广泛的极坐标图和伯德图。,（一）放大环节（比例环节）,放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是,其幅频特性和相频特性分别为,（二）积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为,频率特性如图所
2、示。由图可知，积分环节的相频特性等于-900，与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于，是的函数，当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。,（三）惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性 幅频特性和相频特性分别是,当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周,证明:,这是一个标准圆方程，其圆心坐标是，半径为。且当由 时，由，说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。,惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最
3、大滞后相角为90。,推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即其频率特性是圆心为，半径为 的实轴下方半个圆周。,(四）振荡环节 振荡环节的传递函数是 频率特性 幅频特性和相频特性分别为,当 时，当 时，当 时，振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。,振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是1800。,当振荡环节传递函数的分子是常数K时，对应频率特性 的起点为,阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值 和谐振频率 由幅频特性的极值方程解出。,振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 的范围内，随着的增加，缓慢增大；当 时，达到最大值；当 时，输出幅值衰减很快。,当阻尼
4、比 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联，即,T1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。,振荡环节的频率响应,（五）一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中为微分时间常数、1为比例项因子，严格地说，由上式表示的是一阶比例微分环节的传递函数，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比例项）是不存在的，因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。,幅频特性和相频特性分别为,一阶微分环节的频率特性为,当 时，当 时，当 时，,（六）二阶微分环节 频率特性 幅频特性和相频特性分别为,二阶微分环节是相位超前环节，最大超前
5、相角为180o。,（七）不稳定环节 不稳定环节的传递函数为 有一个正实极点，对应的频率特性是,幅频特性和相频特性分别为,与惯性环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。,其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为,（八）滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为,如图所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。,二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。两个坐标平面横轴（轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即；对数相频特性的纵
6、轴也是线性分度，它表示相角的度数，即。通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。,0,20,40,-40,-20,0.01,0.1,1,10,100,0,45o,90o,-90o,-45o,0.01,0.1,1,10,100,dB,（4）横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。,用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；,（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，
7、可简化计算；,（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；,放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为,当K1时，20lgK0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K1时，20lgK0，位于横轴下方。,（一）放大环节（比例环节）,放大环节的对数幅频特性如图所示，是一条与角频率无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。当有n个放大环节串联时，即 幅值的总分贝数为,放大环节的Bode图,放大环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率无关且与轴重合的直线。,（二）积分环节 积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是,当 时，当 时，当 时，,设，则有 可
8、见，其对数幅频特性是一条在=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec）变化的直线。,当有n个积分环节串联时，即 其对数幅频特性为,是一条斜率为-n20dB/dec，且在=1（弧度/秒）处过零分贝线（轴）的直线。相频特性是一条与无关，值为一n900且与轴平行的直线。两个积分环节串联的Bode图如图所示。,用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，在 的低频段，与零分贝线重合；在 的高频段，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。,两条直线在 处相交，称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。,（三）惯性环节 惯性环节的频率
9、特性是 对数幅频特性是,当 时，当 时，,很明显，距离转折频率 愈远，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。等于转折频率 时，误差最大，最大误差为,时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于转折频率，如下图所示。由图可知，惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率 上下十倍频程范围内。转折频率十倍频以上的误差极小，可忽略。经过修正后的精确对数幅频特性如图所示。,惯性环节的相频特性为 当 时，当 时，当 时，对应的相频特性曲线如上图所示它是一条由 00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称。,其对数幅频特性是
10、当 时，当 时，一阶微分环节的对数幅频特性如图所示，渐近线的转折频率 为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。相频特性是 当 时，；,（四）一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为,当 时，；当 时，。一阶微分环节的相频特性如图所示，相角变化范围是 00 至 900，转折频率 处的相角为450。与惯性环节Bode 图相比，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性以横轴（轴）为对称。,当 时，；,渐近线的第一段折线与零分贝线（轴）重合，对应的频率范围是0至；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为 的直线，对应的频率范围是 至。两段折线构成振荡环节对数
11、幅频特性的渐近线，它们的转折频率为。对数幅频特性曲线的渐近线如图所示。,（五）振荡环节,振荡环节的频率特性是对数幅频特性为,误差分析：当 时，它是阻尼比的函数；当=1时为-6(dB)，当=0.5时为0(dB)，当=0.25时为+6(dB)；误差曲线如图所示。,由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比的函数，且以 的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。经过修正后的对数幅频特性曲线如图所示。由图可知，振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映。前面已经分析过，谐振频率r和谐振峰Mr分别为,其
12、中 称为振荡环节的无阻尼（=0）自然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。由上式可知，阻尼比愈小，谐振频率r愈接近无阻尼自然振荡频率n，当=0时，r=n 振荡环节的相频特性是,当 时，当 时，当 时，振荡环节相频特性还是阻尼比的函数，随阻尼比变化，相频特性在转折频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比越小，变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比的相频特性如图所示。,其对数幅频特性是 相频特性是,（六）二阶微分环节二阶微分环节的频率特性是,二阶微分环节与振荡节的Bode图关于轴对称，渐近线的转折频率为，相角变化范围是00至+1800。,对数幅频特性和相频特性分别为 对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环节相比是以 为对称，相角的变化范围是-1800至-900。Bode如图所示。,（七）不稳定环节 不稳定环节的频率特性是,(八）滞后环节滞后环节的频率特性是 对数幅频特性和相频特性分别为,滞后环节伯德图如图所示。其对数幅频特性与无关，是一条与轴重合的零分贝线。滞后相角与滞后时间常数和角频率成正比。,
