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1、分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习,1、标准的Fourier级数展开定理和公式,三角函数系：,同理,同理,定理：,若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：,设f(x)是以2l为周期的函数，通过变量代换,设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在-l,l上的偶函数，则在-l,l上，,偶函数,奇函数,设f是以2l为周期的奇函数，或是定义在-l,l上的奇函数，则在-l,l上，,奇函数,偶函数,定义,向量范数公理,即,3、完备的正交函数系,4、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的计算方法,即,5、目前所涉及到常用的正交函数系及计算方法举例,结论：本章所涉及到的特征函数系都是
2、完备的正交函数系。,例1：,1）直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是，直接利用公式，需要将 进行奇延拓。,2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在0,l上积分的方法。,即利用公式：,同理：,例2,1)这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的标准的三角函数系。但是也有同样的Fourier级数的系数公式,2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在0,l上积分的方法。,例3,同理，有,6、第五节第二个例题的详细计算过程,例2 解下列定解问题：,解:,首先，将边界条件化成齐次的，为此令,（2.75）,代入原定解问题得到,显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：,（）,和,（）,对于问题（），可以直接用分离变量法求解，求解步骤与2.2中的问题（2.132.15）相同，所不同的只是通过分离变量得到常微分方程较（2.16）稍有不同。,令,代入（2.76）,得,由此得到两个常微分方程,（2.82）,（2.83）,由条件（2.77）,得,（2.84）,（2.83）,（2.84）,时，,时，,时，,（2.82）,（2.83）,（2.82）,得,它的通解为,从而问题（）的解可表示为,确定为,（2.86）,（）,由,得,（2.87）,令,（2.88）,比较两端系数，加上边界条件，得,（2.88）,从而问题（）得解为,（2.89）,
