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1、初中数学中的分类思想方法,北京市团结湖三中 付长虹2010年2月28日,所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。,一、分类思想方法定义与特点,分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进
2、行分类的标准。因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。,分类讨论法的理论依据：逻辑划分原则,二、分类讨论法的理论依据,二、分类讨论法的理论依据,逻辑划分原则是：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。划分的规则：1.划分后各个子项应当互不相容（不重）。2.划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。3.每次划分都应按同一标准。,规则1：划分后各个子项应当互不相容（不重）。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示 如果把平行四边
3、形分为矩形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。,划分规则举例：,规则2：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。从集合的角度看，划分后所有的子集的并集应该等于是全集。例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数1，因为1既不是素数也不是合数。从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则2。,划分规则举例：,规则3：每次划分都应按同一标准。分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。例如：三角形可以如下分类 锐角 有两边相等的 直角 三边都不等的 钝角 按边分
4、按角分 如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。,划分规则举例：,三、分类思想方法的作用,可化繁就简，化难为易。可使思维有序、有条理。可使思维全面、缜密。,人教版3.2解一元一次方程（一）中的例4如下：例4 根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。,一个月内在本地通话200分钟和350分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式一样多吗？引申：怎样选择计费的方式？,作用举例:化繁就简，化难为易。,25（5分）如图，OC是AOB的平分线，且AOD90（1）图中COD的余角是；（2）如果COD=；求B
5、OD的度数.,，,朝阳区0910年七上期末考试,作用举例:使思维有序、有条理,23.在ABC中，AB=AC,点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE,DAE=BAC,连接CE.(1)如图，点D在线段BC上，若 BAC=90，则BCE等于 度；(2)设BAC=，BCE=.如图，若点D在线段BC上移动，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；若点D在直线BC上移动，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.,(1),(2),朝阳区0910年八上期末考试,作用举例,当点D在射线BC上时，+=180；当点D在射线BC的反向延长线上时，=,作用举例：使
6、思维全面、缜密,25.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在y轴正半轴上，且AOB是等腰直角三角形，点C与点A关于y轴对称，过点C的一条直线绕点C旋转，交y轴于点D，交直线AB于点P（x,y），且点P在第二象限内.(1)求B点坐标及直线AB的解析式；(2)设BPD的面积为S，试用x表示BPD的面积S.,朝阳区0910年八上期末考试,作用举例,点P在直线AB上，则P(x，-x+1).设过P、C两点的直线的解析式为y=kx+b.C(-1,0)在直线y=kx+b上，-k+b=0.k=b,y=bx+b.点P(x，-x+1)在直线y=bx+b上，bx+b=-x+1,解得b=.点D的坐标为（
7、0，）.,作用举例,点D的坐标为（0，),作用举例,(1)确定同一分类标准；(2)恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；(3)逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；(4)综合概括小结，归纳得出问题结论 确定分类标准，是分类讨论的重要一环。,四、分类讨论思想方法的步骤：,五、隐含分类思想方法的教学内容,1、数与式,有理数的分类,相反数,绝对值,有理数的大小比较,有理数的运算法则,（1）有理数,（2）实数,平方根、立方根,无理数的形式,（3）式,式的分类,分式的加减,实数的分类,二次根式的化简,五、隐含分类思想方法的教学内容,2、方程与不等式,方程的分类,不等式的性质,
8、分段函数,一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质,不等式组的解集,3、函数,一元二次方程的解,五、隐含分类思想方法的教学内容,4、图形的认识,线的分类,面的分类,垂线性质,三角形按边、按角的分类,角的分类,图形的分类,三线八角,三角形高的位置,三角形外心的位置,三角形全等的条件,等腰三角形边和角计算,勾股定理的应用,四边形的分类,弦、弧的分类,与圆有关的位置关系,圆周角定理,五、隐含分类思想方法的教学内容,5、图形与变换,相似三角形的对应关系,列举法,6、统计与概率,六、初中阶段分类思想方法教学,步骤：,一、抓准时机，渗透分类的思想方法。,三、深化提高，应用分类的思想方法研究问题。,二、启发
9、诱导，揭示分类思想方法的本质。,1.在概念的学习中，渗透分类的思想。,2.在法则的探究中，渗透分类的方法。,3.在图形的求解中，渗透分类的意识。,1.根据问题的需要，进行分类。,2.分类要有明确的标准。,1.根据字母的取值范围分类,2.根据几何图形的位置关系分类,六、初中阶段分类思想方法教学,策略：,1、根据字母的取值范围分类,二次根式的化简,方程的分类,不等式的性质,一元二次方程的解,一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质,3,策略举例,4、,5.,6.抛物线ya2c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式（y2x23或y8x23）,策略举例,六、初中阶段分类思想方
10、法教学,策略：,2、根据几何图形的位置关系分类,垂线性质,三线八角,三角形高的位置,三角形外心的位置,三角形全等的条件,等腰三角形边和角计算,勾股定理的应用,四边形的分类,与圆有关的位置关系,圆周角定理,相似三角形的对应关系,1.,2.,3.,策略举例,4.,5.,策略举例,已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则AB与CD之间的距离为_（1cm或7cm）,已知O1和O2相切于点P，半径分别为1cm 和3cm则O1和O2的圆心距为_（2cm或4cm）,6.,7.,策略举例,8.,9.,策略举例,七、分类思想方法在新课探究中的应用举例,探究三角形全等的
11、条件,问题：探究三角形全等的条件 标准：1、元素个数；2、元素内容、位置 分类：6大类，14小类研究：证明 归纳：（1）判断两个三角形是否全等至少 需要三个条件；（2）能够判断两个 三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。,八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例,已知关于的一元二次方程 有实数根，为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，b的取值范围.,09年北京中考第23题,09年北京中考第23题,根据字母的范围找到符合要求的类别，有三类,09年北京中考第23题,根据函数图像不同的位置分类，有两种不同的位置,09年湖北黄冈第20题,(3)当0t 时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答 过程,09年湖北黄冈第20题,09年湖北黄冈第20题,09年湖北黄冈第20题,09年湖北黄冈第20题,根据等腰三角形的腰的位置分类，有三类情况,07年北京中考第21题,根据直角三角形的位置分类，有两种情况,
