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1、欢迎指导!,郑州市十二中高二备课组 2006.3.12,利用法向量求点到平面的距离,一、复习引入,三、归纳小结,五、反馈总结,二、探索新知,四、巩固迁移,六、反思作业,问题1,则,设,一、复习引入,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,(2)若M（x，y，z）是线段AB的中点，则,(1),问题2,平面的法向量,问题3,如果 是平面的法向量,那么,向量a在轴l上或在e方向（e是l上同方向的单位向量）上的投影:,l,O,A,B,问题4,设,则,l,B,A,O,二、探索新知,?,已知平面,点A,设 是平面 的法向量，则点 A到 的距离AO的长如何表示呢,例 如图，已知正方形ABCD的
2、边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离,D,C,A,B,G,F,E,解:,三、归纳小结,用法向量求点到平面距离的一般过程是:,(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;,(2)求出平面的法向量;,(3)作向量(点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);,(4)求向量 在法向量 上的射影的长度,(其中 是与 同方向的单位法向量),说明：利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人
3、人学会。,变式题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点A 到平面A1C1D的距离,x,z,四、巩固迁移,y,迁移题 如图，已知 ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,ABC=120,且SA平面ABC,SA=3a,求点A 到平面SBC的距离,x,y,z,五、反馈总结,(2)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0;,(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确;,(3)点到平面的距离公式 中,点A为平面 外一定点,点B为平面 内任一点,为平面 的法向量.,(4)公式实质为,六、反思与作业,在棱长为的正方体 中，E、F分别是棱 的中点 试用向量方法求点 到平面E
4、FBD的距离.,反思:通过本节课谈谈自己的收获 是什么?,作业:,E,F,在棱长为的正方体 中，E、F分别是棱 的中点 试用向量方法求点 到平面EFBD的距离.,作业:,E,F,欢迎指导 谢谢！,欢 迎 指 导谢谢！,即点 A到平面 的距离为,在直角三角形AOB中,得,由,其中,是平面 的单位法向量,点A到平面 的距离 可以看成（点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:,其中,是平面 的单位法向量,重点理解：,1,A,B,d,B,A,即向量 在法向量 上的射影的长度,例 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到
5、平面EFG的距离,D,C,A,B,G,F,E,解:,三、归纳小结,用法向量求点到平面距离的一般过程是:,(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;,(2)求出平面的法向量;,(3)作向量(点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);,(4)求向量 在法向量 上的射影的长度,(其中 是与 同方向的单位法向量),说明：利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人人学会。,变式题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点A 到
6、平面A1C1D的距离,x,z,四、巩固迁移,y,延伸迁移 如图，已知 ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,ABC=120,且SA平面ABC,SA=3a,求点A 到平面SBC的距离,x,y,z,五、反馈总结,(2)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0;,(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确;,(3)点到平面的距离公式 中,点A为平面 外一定点,点B为平面 内任一点,为平面 的法向量.,(4)公式还可化为,六、反思与作业,在棱长为的正方体 中，E、F分别是棱 的中点 试用向量方法求点 到平面EFBD的距离.,反思:通过本节课谈谈自己的收获是什么?,作业:,谢谢指导
7、！再见,E,F,D,C,A,B,G,F,E,y,z,如图建立空间坐标系，,G（0，4，2）,F（2,0,0）,E（4,2,0）,则,则,设平面的法向量为,解：,x,返回,x=-y，z=-3y,令y=-1，,D,A,B,C,G,F,E,解:如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O),=(2,-2,0),=(2,4,-2),设面GEF的法向量为,=0,=0,2x-2y=0，2x+4y-2z=0，,x=y，z=3y,=(1,1,3).,点B到面GEF的距离为,返回,令y=1，则,=(2,0,0).,法向量的应用：点到面的距离,例2：已知棱长为1的
8、正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面BDEF的距离。,A,B,d,B,A,即向量 在法向量 上的射影的长度,教师引导，学生总结：法一：设 是平面 的法向量，在 内取一点B,则点 A到 的距离法二：设 于O,利用 和点O在 内的向量表示，可确定点O的位置，进而求出,说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需技巧，可以人人学会。,点到平面的距离,即点 A到平面 的距离为,在直角三角形AOB中,得,由,点
9、到平面的距离,已知平面,点A,设 是平面 的法向量，过A作AO 于点O,则,在 内取一点B,则点 A到 的距离AO的长如何表示呢?,在直角三角形AOB中,由,得,点到平面的距离,点到平面的距离,其中,点B为平面 内任一点,为平面 的法向量.,已知平面,点A,设 是平面 的法向量，过A作AO 于点O,则,在 内取一点B,则点 A到 的距离AO的长如何表示呢?,即点 A到平面 的距离为,点A到平面 的距离 可以看成（点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:,其中,是平面 的单位法向量,重点理解：,五、归纳总结,利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时，首先要建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，求出平面的法向量，再代入公式求解。需要注意的是:,(1)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0;,(2)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确;,(3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会,掌握公式:,并会应用.,
