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1、Signals and Systems,第一章 绪 论,本章介绍信号与系统的基本概念。,信号(signal)系统(system)本课程的研究内容 关于本课程的几点说明,1.1 信号与系统,一、信号(Signal),1.概念：信号是消息的表现形式与传递载体，消息则是信号的具体内容。随时间变化的某种物理量。e.g.电信号,一、信号(Signal),2.举例,语音信号“你好”的波形,(1)语音信号：空气压力随时间变化的函数。,一、信号(Signal),2.举例,(2)静止的单色图象：亮度随空间位置变化的信号。,一、信号(Signal),2.举例,(3)静止的彩色图象：三基色红(R)、绿(G)、蓝(B
2、)随空间位置变化的信号。,一、信号(Signal),2.举例,用 VB 处理图像,亮度+20,对比度1.5,反相色彩,铅笔画效果,木雕效果,一、信号(Signal),2.举例：心电图,心电图,诊断：1.窦性心律 2.brugada综合症,诊断：1.窦性心律 2.陈旧性下壁及前 壁心肌梗塞 3.前壁室壁瘤形成 4.5.,一、信号(Signal),2.举例：股市行情,长江电力日 K 线图（2007年9月7日）,二、系统(System),定义：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有特定功能的整体。举例：自然系统太阳系、人体系统、生态系统 人造系统通信系统、控制系统、经济系统,通信系统结构图,
3、二、系统(System),定义：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有特定功能的整体。举例：自然系统太阳系、人体系统、生态系统 人造系统通信系统、控制系统、经济系统,二、系统(System),定义：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有特定功能的整体。举例：自然系统太阳系、人体系统、生态系统 人造系统通信系统、控制系统、经济系统,信号与系统是相互依存的整体。系统可以看作是变换器、处理器。,电系统具有特殊的重要地位。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。,三、本课程的研究内容,1.信号理论,2.系统理论,信号分析：研究信号的描述方法、数学模型
4、、基本特性等。信号处理：对信号进行变换、加工信号综合：设计、产生所需求的信号,系统分析：建立系统模型，研究系统的基本属性。研究系统对于输入激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计系统。,重点讨论：信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。,三、本课程的研究内容,具体内容：本课程以通信和控制工程为主要应用背景，研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念与基本分析方法：从时间域到变换域；从连续到离散；从输入、输出描述到状态空间描述。,四、关于本课程的几点说明,1.课程位置通信、电子类学生重要的专业基础课 先修课：高等数学 线性代数 复变函数 电路分析基础 后续课程：通信原理数字信
5、号处理,2.几本参考书 信号与线性系统分析（第四版）吴大正 高等教育出版社 信号与系统（第二版）Alan V.Oppenheim（刘树棠译）西安交大出版社 1997,将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。着重掌握信号与系统分析的原理与方法。注重计算方法对应的物理过程，计算结果的物理解释。同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣。在后续的课程中继续加深对本课程的概念的理解。,关于学习方法的几点建议,关于学习方法的几点建议,要有克服困难的精神！,纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。南宋陆游,信号的描述方法信号的分类几种典型的确定性信号,1.2 信号的描述、分类和典型示例,一
6、、信号的描述方法,解析法：y=f(x)f(x,y)f(x,y,z)一般以时间作自变量 y=f(t)2.图像法：在坐标平面上画出y=f(t)的波形,二、信号的分类,信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。,按所具有的时间特性划分,对于指定的某一时刻 t，可确定唯一的函数值f(t)。若干不连续点除外。,确定性信号,随机信号,具有不可预知的不确定性。无法确定未来某一时刻的函数值 f(t)。,1确定性信号和随机信号,2周期信号和非周期信号,周期信号,非周期信号,无重复规律的信号，也可看作 T 的周期信号。,如：正弦函数、周期方波,3连续信号和离散信号,连续时间信号：在指定的时间范围内，除有
7、限个间断点外，任意时刻都有确定的函数值。常用 f(t)表示。,离散时间信号：自变量只取某些不连续的点，只在这些不连续的瞬时有函数值，其他时间没有定义。常用 f(n)表示。,通过自变量（t 或n）区分连续信号与离散信号。,模拟信号，抽样信号，数字信号,数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。,主要讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。,模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。,抽样信号：时间离散的，幅值 可以连续取值的信号。,量化,抽样,例1 判断信号的性质。,判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？,连续信号,离散信号,离散信号数字信号,三、几种典型
8、确定性信号,1.指数信号,2.正弦信号,3.复指数信号(表达具有普遍意义),4.抽样信号(Sampling Signal),重要特性：线性常系数微分方程解的形式,1指数信号,单边指数信号,和,反映了信号衰减或增长的速度，具有时间的量纲。,l 指数衰减,l 指数增长,l 常数(直流),O,t,f(t),2正弦信号,振幅：K 周期：频率：f 角频率：初相：,衰减正弦信号：,衰减的正弦信号,Matlab 仿真波形,一个重要的数学公式：欧拉(Euler)公式,为复数，称为复频率。,3复指数信号,(2)讨论,(1)复指数信号分为实、虚两部分，都是指数正弦函数的形式。,4抽样信号(Sampling Sig
9、nal),性质：,Sa(t)=Sa(t),偶函数。,Sa(t)=0,t=n,n=1,2,3.,按信号的能量特性，划分为能量信号和功率信号。,能量信号和功率信号,信号的能量：信号 f(t)加到 1 电阻上时，电阻所消耗的能量称为信号 f(t)的归一化能量，简称为信号的能量。,能量信号：把能量 E 为有限值的信号称为能量有限信号或简称为能量信号。,e.g.时间受限且幅值为有限值的信号为能量信号。,能量信号和功率信号,信号的功率：信号 f(t)加到 1 电阻上时，电阻所消耗的功率称为信号 f(t)的归一化功率，简称为信号的功率。,功率信号：把功率 P 为有限值的信号称为功率有限信号或简称为功率信号。
10、,例2 分析直流信号、周期正弦信号和指数信号 et 的能量和功率。,(1)f(t)=K,E,P=K2,直流信号非能量信号，是功率信号。,例2 分析直流信号、周期正弦信号和指数信号 et 的能量和功率。,一个周期内的能量：,E,非能量信号，是功率信号。,例2 分析直流信号、周期正弦信号和指数信号 et 的能量和功率。,非能量信号，也非功率信号。,一般规律,一般直流信号、周期信号为功率信号。,时间受限且幅值为有限值的信号为能量信号。,还有一些信号既非周期信号，也非能量信号。,分析,能量(有限)信号的功率为零，功率(有限)信号的能量为。一般情况下，对能量信号不再分析其功率；非能量信号(E)再分析是否
11、为功率信号。,1.3 信号的运算,信号的自变量的变换：平移 反褶 展缩 信号的数学运算,一信号的自变量的变换（波形变换）,1信号的平移,利用宗量相同，函数值相同，求新坐标。,e.g.已知 f(t)波形，试画出 f(t1)的波形。,做法：将信号f(t)沿t 轴平移，即得到时移信号f(t)0，右移(滞后)；0，左移(超前),分析：,2反褶,做法：以纵轴为对称轴，左右翻转，把信号的过去与未来对调。,e.g.已知 f(t)波形，试画出 f(t)的波形。,分析：,2反褶,说明：反褶只对自变量 t 本身取负；只有自变量 t 本身取负时，信号反褶。,思考：已知 f(t+2)的波形，求反褶后的波形的函数。f(
12、t+2)？f(t 2)？,分析：,f(t+2),3信号的展缩,e.g.已知 f(t)波形，试画出 f(2t)，f(t/2)的波形。,分析：,3信号的展缩,e.g.已知 f(t)波形，试画出 f(2t)，f(t/2)的波形。,3信号的展缩,说明：(1)波形相似；(2)a 1 时，波形宽度向原点压缩至 1/a；0a1 时，波形宽度背向原点扩展至 1/a。,1,2,1,8,4,1,由于自变量 t 的系数不同，则达到同样函数值的时间不同。,说明：展缩对应自变量 t 本身的尺度变换；只有自变量 t 本身作尺度变换时，波形展缩。,思考：已知 f(t+2)的波形，波形宽度向原点压缩至原波形的 1/3 时，波
13、形函数？f(3t+2)？f(3t+6)？,分析：,3信号的展缩,f(3t+2),例 1 已知信号 f(t)的波形，试画出信号 f(2t+2)的波形。,分析：f(t)f(t)f(2t)f 2(t1),反褶,展缩,平移,4一般情况,注意！,(2)再展缩：,|a|1，压缩至1/|a|；|a|1，扩展 1/|a|倍,(3)后平移：,b/a 0，左移；b/a 0，右移,一切变换都是相对t 而言,最好用先翻缩后平移的顺序.,(1)若 a 0 先反褶；,思考：用其它的顺序如何进行变换？,f(t)f(at)f a(t+b/a),二信号的数学运算,1.幅度比例运算 f(t)Kf(t)，幅值变化到 K 倍。,注意
14、区分 f(Kt)与Kf(t)。,二信号的数学运算,2.,以积分上限为自变量的函数,1.4 阶跃信号与冲激信号,单位斜变信号 单位阶跃信号 单位冲激信号 冲激偶信号,一单位斜变信号,二单位阶跃信号,1.定义,2.有延迟的单位阶跃信号,二单位阶跃信号,3.应用,(1)开始一个函数,(2)描述其它信号,用单位阶跃信号描述其他信号,一个幅值为有限值的信号乘以门函数后，将只剩下门内的部分。,门函数：也称窗函数,相乘,用单位阶跃信号描述其他信号,符号函数(Signum)：,三单位冲激信号（重点）,定义1定义2冲激函数的性质,定义1,注意：(1)表示冲激的面积（强度），而非函数值。,面积为1,宽度为0,定义
15、2：狄拉克(Dirac)函数,积分面积为1；宽度为零，,函数值只在 t=0时不为零；t=0 时，为无界函数。,面积为k（强度为k）的冲激信号 k(t),冲激信号,时移的冲激信号,冲激函数的性质,1抽样性2奇偶性3标度变换4.(t)与u(t)的关系,(t)是一个广义函数，是为了信号分析的需要构造出来的。就时间 t 而言,(t)可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号的某些规则。但(t)有许多特殊的性质。,1.抽样性(筛选性),如果函数 f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有,证明：,t 0 时，(t)=0，f(t)(t)=0,f(t)(t)是一个冲激强度为f(0)的冲激函数，即f(0)
16、(t),1.抽样性(筛选性),对于移位情况：,如果函数 f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有,2.奇偶性,(t)是一个偶函数。,3.对(t)的标度变换,证明：利用(t)的定义 1,p(at)(at)p(at)面积为 1/|a|(at)强度为 1/|a|,p(t)(t)p(t)面积为1(t)强度为1,4.(t)与 u(t)的关系,=u(t),四、冲激偶信号,(t)=(t)，(t0 t)=(t t0)冲激偶是奇函数。,冲激偶的性质,(t)=(t)，(t0 t)=(t t0)冲激偶是奇函数。,冲激偶的性质,证明：利用分部积分运算,(t)=(t)，(t0 t)=(t t0)冲激偶是奇函数。,冲激偶
17、的性质,证明：,总结：R(t)，u(t)，(t)，(t)之间的关系,R(t),u(t),(t),(t),函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。,例 1,0(t),=0,例 3 已知信号 f(t)的波形，试画出 的波形。,分析：f(t)f(t)f(t/3)f(t6)/3,冲激函数性质 冲激偶函数性质,（1）抽样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,1.5 信号的分解,为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量。,一直流分量与交流分量,信号的直流分量，即平均值。,信号
18、的交流分量，平均值为零。,二偶分量与奇分量,对任意实信号：,偶分量：,奇分量：,例1 求 f(t)的奇分量和偶分量。,例1 求 f(t)的奇分量和偶分量。,例1 求 f(t)的奇分量和偶分量。,三脉冲分量,矩形窄脉冲序列,可表示为：,每个窄脉冲脉高：f(k)脉宽：存在区间：k,(k+1),三脉冲分量,0 时：,矩形窄脉冲序列,三脉冲分量,0 时：,矩形窄脉冲序列,三脉冲分量,0 时：,d,k,函数 f(t)可以分解为出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的“和”。,矩形窄脉冲序列,四实部分量与虚部分量,瞬时值为复数的信号可分解为实部和虚部之和。,共轭复函数,(1),(2),五正交函数分量,寻找一
19、个正交函数集，将信号分解为函数集中各正交函数的线性组合。,正交函数集不同，正交函数分解方法也不同。信号的正交函数分解是本课程的学习重点。,e.g.周期函数的傅里叶级数分解1,cost,sint,cos2t,sin2t,cos3t,sin3t,1.6 系统模型及其分类,系统模型的表示方法描述系统的基本单元方框图系统的分类,一.系统模型的表示方法,1.数学模型 连续系统 微分方程形式的数学模型,离散系统 差分方程形式的数学模型,一.系统模型的表示方法,2.方框图,二系统的基本运算单元,1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘器，比例器）4.微分器5.积分器6.延时器,基本元件,3.标量乘法器（数乘
20、器，比例器）,2.乘法器,1.加法器,4.微分器,5.积分器,基本元件,例1 请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。,(1)方程左端只保留输出的最高阶导数项,(2)积分 n 次，使方程左端只剩下r(t)项,(3)画系统框图,例 1 系统框图,所用积分器太多！,三、系统的分类,1.7 线性时不变系统,线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统线性时不变系统因果系统与非因果系统,一线性系统与非线性系统,指具有线性特性的系统。,线性特性：指均匀性，叠加性。,叠加性：,均匀性(齐次性)：,1.线性系统定义：,2.线性特性,2.判断方法,例1-7-1 判断系统 是否为线性系统？,先线性运算，再
21、经系统,先经系统，再线性运算,结论：微分系统是线性系统。,例1-7-2 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?,分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。,例1-7-2 证明均匀性,设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)，e(t)与r(t)满足,原方程两端乘A：,(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性,当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有均匀性，则,例1-7-2 证明叠加性,(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性,设有两个输入信号 分别激励系统：,当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有,(3)+(4)得,例1-7-2 判断下述微分方程所对应的系统是
22、否为线性系统?,分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。,所以此系统为非线性系统。,系统不满足均匀性,系统不具有叠加性,可以证明：,二时变系统与时不变系统,1.定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为时不变系统，否则称为时变系统。,二时变系统与时不变系统,具体表现:,电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变从方程看:系数是否随时间而变,1.定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为时不变系统，否则称为时变系统。,2.判断方法,若则系统 是时不变系统,否则是时变系统。,例1-7-3 判断下列系统
23、是否为时不变系统。,1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。,所以此系统为时不变系统。,系统1：,系统2：,例1-7-3 判断下列系统是否为时不变系统。,系统1：,系统2：,此系统为时变系统。,2.系统作用:输入信号乘cos(t),三线性时不变系统,线性时不变系统满足微分特性、积分特性。,利用线性证明，可推广至高阶。,既具有线性，又具有时不变性的系统。,利用线性时不变系统的微分特性简化系统框图,设,由,再由,四.因果系统与非因果系统,系统在 t0 时刻的响应只与t=t0 和 t t0 时刻的输入有关。,输出不超前于输入,2.判断方法,1.因果系统定义：,因果系统在当前时刻的输出只与系统当前时刻和
24、以前时刻的输入有关。因果系统的输出不会出现在激励之前。,实际的物理可实现系统均为因果系统。,3.因果信号,t=0 接入系统的信号称为因果信号。,表示为：,现在的响应=现在的激励+以前的激励,该系统为因果系统。,例1-7-4 判断下列系统是否为因果系统。,对 t，e(t)为当前时刻的激励，e(t2)为以前的激励,该系统为非因果系统。,设 t=0，,未来的激励,1.8 系统分析方法,一.建立系统模型的两种方法,二.数学模型的求解方法,1.时域分析,2.变换域分析,傅里叶变换FT（连续、离散）拉普拉斯变换LT（连续）z 变换ZT（离散）离散傅里叶变换DFT 离散沃尔什变换DWT,卷积积分（或卷积和）法,作 业,5钟形脉冲函数(高斯函数),在随机信号分析中占有重要地位。,三两信号相加和相乘,同一瞬时两信号对应值相加、相乘。,信号调制,4.(t)与 u(t)的关系,e.g.电容电压的突变,已知 t 0 时，vC=0，求 vC(t)及 iC(t).,VS,(CVS),一直流分量与交流分量,信号的直流分量，即平均值。,信号的交流分量，平均值为零。,一直流分量与交流分量,信号的直流分量，即平均值。,信号的交流分量，平均值为零。,信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率,
