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1、1.如图所示,均质圆轮质量为m,半径为R,放在粗糙水平面上,均质杆BC质量亦为m,长为2R,二者固结如图示.开始时系统静止,杆BC位于铅锤位置.设杆BC受小的扰动后倒下,圆盘在地面上作纯滚动,求当杆BC运动到水平位置时,(1)杆BC的角速度的大小;(2)圆轮心C的速度的大小;(3)圆轮心C的加速度的大小;(4)杆上B点的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,解:,(1)由动能定理:,(2),(3)轮杆组合体运动到任意位置时由机械能守恒可得:,选过C水平面为重力势能零点,对任意位置,系统有,两边对时间t求导数,当=900 时,上式为,上式为,轮心C加速度大小,(4)杆上B点的
2、加速度的大小,(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,先求BC杆中心O点的加速度,轮心C加速度大小,(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,由动量定理:,x 方向:,y 方向:,另解:求解某时刻的加速度和约束力,还可用达朗伯原理.,解:,系统有两个自由度,选 x、为广义坐标,2.如图所示,均质圆轮质量为m1,半径为R,放在粗糙水平面上,均质杆BC质量为m2,长为2R,用铰链连接于轮心C.开始时系统静止,杆BC位于铅锤位置.杆BC受小的扰动后倒下,设圆盘在地面上作纯滚动,求当杆BC运动到水平位置时,(1)杆BC的角速度的大小;(2)圆轮心C的速度的大小;(3)杆BC的角加速度的大小;
3、(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,由动量定理的水平方向投影,取系统分析:,取圆轮分析:,由对质心的动量矩定理,两式联立可得:,(1),由系统的动能定理:,当=900,由(1)式:,即VC=0.,(2)式可化作:,即是,即,将(1)式两边对t 求导,当BC杆水平时,将(2)式两边对t 求导,当BC杆水平时,上式化简成:,BC杆质心O的加速度为:,由质点系的动量定理:,水平方向有:,铅垂方向有:,另解:速度及角速度问题同前,加速度问题另解如下:(3)杆BC的角加速度的大小;(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,解:,系统有
4、两个自由度,选 x、为广义坐标,选过C的水平线为重力势能零点,运动过程中机械能守恒,将上式两边对时间t求导数:,广义速度必不为零,所以有,当BC杆水平时,由(I)式,由(II)式,另解:,速度问题同前(动能定理及广义动量守恒),加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理.,求:(3)杆BC的角加速度的大小;(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.,当BC杆水平时,设图示瞬时,C点的加速度为 a,BC杆的角加速度为.,圆盘及BC杆分别为平面运动,将各自的惯性力系向各自的质心简化,取系统为研究对象:,再取BC杆为研究对象,代入(6):,取整体分析,3.小球的重量为P,小车
5、的重量为W,系统开始静止.已知小车上四分之一圆弧面的半径R,圆弧底端处B距光滑水平地面的高度为h.设小球自圆弧顶端A沿圆弧面落下.求:(1)小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时,圆弧面对小球的法向约束力.,解:,两个自由度,选广义坐标(变量)x、,系统水平方向动量守恒,当小球在B点时,由动能定理,当小球在B点时,联立求解:,(1)小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小
6、车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时,圆弧面对小球的法向约束力.,(1),(2),由质心坐标守恒(水平方向),小车移动的距离:,小球移动的距离:,(3),小车移动的距离:,小球移动的距离:,(1)小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时,圆弧面对小球的法向约束力.,(4),取小球分析运动及受力,
7、由,此题中,此题此时,由,4.可在地面上滚动而不滑动的均质细圆环管质量为m1,半径为R,管内装有质量为m的小珠,管的内壁光滑.开始时圆环和小珠静止不动,小珠位于圆环的最右边的地方(如图示).释放系统使小珠下落.求小珠到达最低位置时,圆环管的角速度的大小.,解:,由动能定理,设圆环的角速度为,小珠相对于圆环中心O的速度为Vr.,由动量定理:(水平方向投影),取圆环分析,由(2)、(3)可得:,由对其质心的动量矩定理:,(1)、(4)联立可得:,取广义坐标 x、.,取过O水平面为重力势能零点,x 为循环坐标,由初始条件,C=0,当=900,另解:,其中,(其余同前),解:,5.图示质量为m2的均匀
8、圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑水平面上运动,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.,分别取圆柱、斜面分析运动及受力,对圆柱,由质心运动定理,由对质心的动量矩定理,由于圆柱在运动的斜面上只滚不滑,上式化为,对斜面,由牛顿第二定律,(1),(2),(3),(4),对圆柱,以A为基点分析C点的加速度,沿斜面方向投影有:,(1),(2),(3),(4),由两个物体间运动学关系:,取C为动点,斜面为动系,水平方向:,铅垂方向:,联立消去ar.,(5),(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式联立可得,解:双自由度,选广义坐标 x1、Sr,选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点,5.图示
9、质量为m2的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑水平面上运动,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.,运动过程中机械能守恒,两边对时间t求导数,不会为零,所以有,联立可得:,解:双自由度,选广义坐标 x1、Sr,选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点,5.图示质量为m2的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑水平面上运动,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.,6.均质杆质量为m,长为3R,固结在半径为R质量为M的均质圆柱体上,杆的一端与圆柱体的中心重合.设圆柱体在水平面上只滚不滑,求系统的运动微分方程.,解:,选过O点的水平面为重力势能零点,一个自由度,选广义
10、坐标,运动过程中系统的机械能守恒,两边同时对时间t求导数,7.在一水平面上,小球A的速度V1=6m/s,方向与静止的B球相切,如图示.两球的大小相同,质量相等,不计摩擦.设碰撞的恢复系数k=0.6,试求碰撞后两球的速度各是多少?,解:,碰撞前后总动量守恒,法向投影有,切向投影有,由(1)、(2)可得:,切向二球不受力作用,各自动量守恒,碰撞后两球的速度,A球,B球,8.一均质球半径为R=0.1m,以质心10m/s 的速度沿图示斜面向下作纯滚动.并与一水平面相撞.设球与水平面的碰撞是完全弹性的.试求:碰撞后瞬时,球心的速度和球的角速度.,解:,碰撞前后,对质心的动量矩守恒,角速度不变,而,(AC
11、方向上速度投影相等),由,即,在切向投影可得:,(方向如图),9.均质实心球半径为r,沿斜面滚下如图示,当角速度为0时碰到水平面连滚带滑,最后重新变成纯滚动.设碰撞时球未从水平面回跳,求球在水平面上纯滚动的角速度.,解:,碰撞为塑性 k=0,设纯滚动时质心速度为V,角速度为,由动量定理,由动量矩定理,由(1)可得:,联立(2)、(3),10.刚度均为k(N/m)的两个弹簧,一端固定,另一端装在相互平行的两块刚性板平板A和B上,其间距为=W/2k.当重为W的物体突然加在平板A上时,求平板B的位移.平板和弹簧的质量略去不计.,解:,设平板B的位移为,整个过程,可用能量原理描述成,整理后得:,取,1
12、1.一个踩高跷的人,在高跷倾斜的过程中,仍直立地站在上面.这可简化成图示的模型:不计重量的杆AB(即高跷)由静止开始绕A点转动;一个代表人的均质杆支承在D点,当AB转动时,其仍保持在铅垂位置.若设高跷在由静止开始运动时,其A端具有微小的初位移d,试写出人体质心C水平加速度的表达式.,解:,由质心运动定理,又,12.质量均为m 的两块板m1 和 m2 由刚度系数为k 的弹簧连接,放在地板上,如图示.今在 其上方掉下一质量为m 的泥块m3.问:泥块的高度为多少时,方能使上面的板跳起时带动下面的板?,解:本问题有两个力学过程,(碰撞和功能原理)应分开考虑.,由碰撞过程的动量守恒(忽略重力冲量),设弹
13、簧压缩的最大限度为a,则由动能定理可得:,在尔后至刚使地面对m2 的反力为零时,由动能定理得:,由已知条件可得:,考虑运动过程的机械能守恒,还可有如下的思路:,由动能定理:,13.质量为m的小环可沿质量为M半径为R的大圆环运动.开始时,系统静止于光滑的水平面上,如图所示.现在突然给小环一初速度V0,试证明:大环将作平动,并求大圆环中心相对于系统的质心的运动轨迹.不计大环和小环之间的摩擦.,由于小环在运动以后对大环的力始终指向大环的质(中)心,大环所受的力对其质心的矩始终为零.初始大环又无角速度,因而大环对其质心的动量矩始终为零(即守恒),所以 大环的角速度为零.如此,大环只作平动.,由系统的动
14、量守恒可得系统质心的运动:,运动过程中,系统的质心到大环的质心O的距离及到小环m的距离始终都是不变的,所以,大环中心及小环相对系统的质心C的运动轨迹都是圆弧.,大环中心O相对于系统质心C的轨迹是以 为半径的圆弧.,由质心坐标公式可得:,14.设有两个重物W0和W1,以柔软而不可伸长的轻绳相连,绳长为l.若将重物W0自W1的上面以初速V0 竖直上抛(开始时图中的x=0),W1放在地面上.求重物W0上抛的最大的距离H.,解:由于初速以字母表示,据题意而分情况讨论.,当,则,当,在绳子拉直时有:,在二物具有共同速度V2时有,此后上升高度为,总高度为:,或为:,15.均质杆OA=l,质量为m,可绕O作
15、定轴转动.图示瞬时其角速度等于零,角加速度为.若将杆的惯性力系向A点简化,则主矩的大小应为多少?,解:先将惯性力系向O点简化.,再将此惯性力系向A点简化,最后结果应为:,16.质量为M倾角为=300 的三棱柱放在光滑的水平面上.一根自然长度为l,刚度系数为k=2mg/l 的弹性轻绳系于光滑斜面上端的A点,另一端系有质量为m的质点.初始时质点位于A点处,系统由静止而释放.试写出系统的能量方程和水平动量方程,并且证明:(1)质点的速度再次为零时它离A点的距离为2l.(2)当质点离A点的距离为5l/4 时,三棱柱的速度达到最大值.(3)求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度.,解:,当小球A运动到 s l,由动能定理,选广义坐标 x、s,当小球A运动到 s l,由动能定理,系统的动量在水平方向守恒:,证明:(1)质点的速度再次为零时它离A点的距离为2l.(2)当质点离A点的距离为5l/4 时,三棱柱的速度达到最大值.(3)求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度.,化简后得:,令,可得驻点方程:,联立(1)、(2)消去,
