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1、9/6/2023,1,第二节 动态方程的建立,9/6/2023,2,从系统的机理出发建立动态方程由微分方程写动态方程由结构图求动态方程由传递函数写动态方程,本节主要内容,9/6/2023,3,一、从系统机理出发建立：,解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,9/6/2023,4,9/6/2023,5,输出方程：,状态方程：,9/6/2023,6,写成矩阵形式：,9/6/2023,7,二、由微分方程写动态方程,例：一阶方程,9/6/2023,8,例,动态方程为：,9/6/2023,9,写成矩阵形式：,动态方程为：,9/6/2023,10,三、由结构图求动态方程,9/6/2023,11,
2、图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图：则有：,写成矩阵形式：,9/6/2023,12,有一个零点：s=-z。将具有零点的环节化简得：,9/6/2023,13,取状态变量如上图。则状态方程为：输出方程为：,9/6/2023,14,写成矩阵形式：,9/6/2023,15,四、由传递函数求动态方程,将分子、分母同除 得：,上式分母可写成：,9/6/2023,16,我们知道，同一系统可以有不同的信号流图。现在来看看能不能画出两个接触的信号流图出来。,9/6/2023,17,例系统传递函数为：,把分子的五项看作五个前向通路的增益，把分母的后四项看成是四个反馈通路的增益，则可画出两个接触的信
3、号流图如下图。四阶系统，四个积分器：,9/6/2023,18,由图可见每个回路是接触的，与每条前向通路也是接触的。满足传递函数。取状态变量如图（一般取积分器后的信号为状态变量）：,输出：,9/6/2023,19,特点：A阵，对角线上方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B阵，最后一行元素为1，其他元素为0。,9/6/2023,20,还有一种称为输入前馈形式的状态变量模型。上例的信号流图还可以画成下图形式（令，分子比分母至少低一阶）：,可见满足两个接触，而且传递函数也满足。,9/6/2023,21,取状态变量 如图。有：,9/6/2023,22,写成矩阵形式：,9/6/2
4、023,23,若分子分母同阶，则要化分子比分母低一阶。,例如：,即：,9/6/2023,24,例：，分别写出相变量、输入前馈形式的动态方程。,解：,相变量形式信号流图及状态变量如下图，状态方程如下：,9/6/2023,25,写成矩阵形式：,9/6/2023,26,输入前馈形式的信号流图及状态变量如下图：,即：,9/6/2023,27,（二）、传递函数的形式为零极点形式时：可以得到串联形式和解耦形式的状态变量模型。,9/6/2023,28,前面我们介绍了由结构图求动态方程的方法，这里介绍用信号流图求解。,9/6/2023,29,定义状态变量如上图，得：,写成矩阵形式：,9/6/2023,30,式
5、中：,9/6/2023,31,有：,及：,9/6/2023,32,写成矩阵形式：,或：,9/6/2023,33,（三）由传递函数写特殊形式的动态方程：,引入中间变量，有：,1.可控标准型：设,令：,其对应的微分方程为：,9/6/2023,34,选择状态变量如下：,于是有：,输出方程：,9/6/2023,35,动态方程写成矩阵形式得：,9/6/2023,36,令：,9/6/2023,37,例：试化 为可控标准型。,解：分子、分母同除以2得：,可得：,9/6/2023,38,2.可观测标准型：,分子比分母低一阶以上，若分子分母同阶，应处理成分子比分母低一阶，这时，输出方程中的，表示输出含有与输入直
6、接关系的项。,对应的微分方程为：,9/6/2023,39,选择状态变量如下：,状态方程为：,输出方程为：,9/6/2023,40,定义：凡满足 的动态方程称为可观测标准型。,9/6/2023,41,例：试化 为可观测标准型。,解：直接套用公式得：,9/6/2023,42,3.对角标准型（约当标准型）：,9/6/2023,43,拉氏反变换为：,写成矩阵形式为：,9/6/2023,44,例试化 为对角标准型。,解：,则：,若 有重根，也可由同样的方法求，只是选择状态变量时不同，以后我们会看到，它不能化为对角型，只能化为约当标准型。,9/6/2023,45,小结,由系统的机理列写动态方程：物理方程的罗列，状态变量的选择（任意，个数唯一）由微分方程写动态方程：画出模拟结构图，选择积分器后的变量为状态变量由结构图求动态方程：将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量由传递函数求动态方程：相变量形式（可控标准型），输入前馈形式，可观测标准型，对角阵标准型,
