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1、第三章 部分习题分析与解答,分析：由于鸟与飞机之间的作用是一短暂时间内急剧变化的变力，直接应用牛顿定律解决受力问题是不可能的。如果考虑力的时间累积效果，运用动量定理来分析，就可避免作用过程中的细节情况。由于飞机的状态变化不知道，可讨论鸟的状态变化来分析其受力，并根据力作用的相互性，问题得到解决。,3-1 一架以 的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.2m、质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）。根据本题的计算结果，你对于高速运动的物体（如飞机、汽车）与
2、通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会?,解：以飞鸟为研究对象，取飞机运动方向为x轴正向。由动量定理得,式中F为飞机对鸟的平均冲力，而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为，以此代入上式可得,鸟对飞机的平均冲力为,式中负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反。从计算结果可知冲力相当大，若飞鸟与发动机叶片相碰，足以使发动机损坏，造成飞行事故,分析：对于弯曲部分AB段内的水而言，在t时间内，从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量。因此对这部分水来说，在t内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量，此动量的变化是管壁在 t 时间内对其作用的冲量I的结果，
3、依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F，由牛顿第三定律可求F。,3-5 如图所示，在水平地面上，有一横截面 的直角弯管，管中有流速为v=3.0m.S-1的水通过，求弯管所受力的大小和方向。,解：在t时间内，从管一端流入水的质量为m=vSt，弯曲部分AB的水的动量的增量则为,依据动量定理I=P，得到管壁对这部分水的平均冲力为,水对管壁作用力的大小为,作用力的方向则沿直角平分线向弯管外侧。,分析：物体在最高点处爆炸的过程，由于爆炸内力远大于重力，重力的冲量可忽略，物体爆炸过程中动量守恒。由于爆炸后第一块碎片抛出的速度可由落体运动求出，由动量守恒定律可得第二块碎片抛出的速度，进而可求出落地位置。,
4、3-6 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸后1.00s后，第一块到爆炸点正下方的地面上，此处距离抛出点的水平距离为1.00102m。问第二块落在距离抛出点多远的地面上。（设空气的阻力不计）,解 取如图所示坐标，根据抛体运动的规律，爆炸前，物体在最高点A的速度的水平分量为,物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为,当该碎片落地时，有y1=0，t=t1，则由上式得第一块碎片抛出的速度,又根据动量守恒定律，在最高点处有,联立解式（1）、（2）、（3）和（4），可得爆炸后，第二块碎片抛出时的速度分量分别为,爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为,落
5、地时，y2=0，由式（5）、（6）可解得第二块碎片落地点的水平位置：x2=500m,分析：人跳跃躏距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致。在抛物的过程中，人与物之间相互作用的冲量，使他们各自的动量发生了变化。人与物水平方向不受外力作用，系统在该方向上动量守恒，且必须注意是相对地面（惯性系）而言的，根据相对运动可确定人与物的速度，求得人在水平方向速率地增量就可求出人因抛物而增加的距离。,3-8 质量为m 的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为
6、质点）,解 取如图所示坐标，把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，故有,式中v 为人抛物后相对地面的水平速率，v-u 为抛出物对地面的水平速率。,人的水平速率的增量为,而人从最高点到地面的运动时间为,所以，人跳跃的距离的增加量为,分析：该题中虽施以“恒力”，但作用在物体上的力的方向在不断变化。需按功的矢量定义式来求解。,3-13 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1.00kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平平面上，若用5.00N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成30角变为37角时，力对物体所作的功为多
7、少？已知滑轮与水平面之间的距离d=1.00m。,解：取图示坐标，绳索拉力对物体所作的功为,分析：本题是一个变力作功问题，关键在于寻找力函数。根据运动学关系可作变量转换，变量从v变换到t，再从t变换到x，就可按功的定义式求解。,3-14 一物体在介质中按规律x=ct3作直线运动，c为一常量，设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0=0运动到x=L时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k）,解：由运动学方程x=ct3，可得物体的速度,按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为,则阻力的功为,分析：由于水桶在匀速上提过程中，拉力必须始终与水桶相平衡。水桶重力因漏水而随提升高度而变，因此，拉力作功实
8、为变力作功。只要能写出重力随高度变化的关系，拉力作功即可求出。,3-15 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg水。水桶被匀速从井中提到井口，求人所作的功。,解：水桶在匀速上提过程中，拉力与水桶重力平衡，有,在图示所取坐标下，水桶重力随位置的变化关系为,其中=0.2kg/m，人对水桶的拉力的功为,分析：该系统的相互排斥力是有心力。当两粒子分离时，在该力作用下，系统的势能要发生变化；斥力的功在数值上等于系统势能增量的负值；势能零点在无究远处。,3-18 设两粒子之间的相互作用力是排斥力,并随它们之间的距离r按F=k/r3的规律而
9、变，其中k为常量。度求两粒子相距为r时的势能。（设力为零的地方势能为零）,解：由力函数F=k/r3可知，当r 时，F=0，势能亦为零。在此力场中两粒子相距r时的势能为,则 Ep=k/2r2,分析：该题可用机械能守恒定律来解。选取两块板、弹簧和地球为系统，该系统在外界所施压力撤除后（取状态1)，直到B板刚被提起（取状态2），在这一过程中，系统不受外力作用，而内力又只有保守力作功，支持力不作功，因此满足机械能守恒的条件，列出方程，并结合这两个状态下受力的平衡，便可求出压力。,3-21 如图示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰
10、能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧劲度系数为k）,解：选取如图所示坐标，取原点O处为重力势能和弹性势能零点。作各状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有,当外力撤除后，按分析中所选的系统，由机械能守恒定律可得,为计算方便起见，通常取弹簧原长时的弹性势能为零点，也同时为重力势能的零点。,式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移。因为F1=ky1，F2=ky2及P1=m1g，上式可写为,当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力2=P2，且F2=F2。由式（）可得,由式（1）、（2）可得,分析：若取矿车、地球、弹簧为系统，支持力不作功，重力、弹力为保守力，而阻力为非保守力且
11、作功，系统不满足机械能守恒定律的条件，故应该用功能原理去求解。同时注意势能零点的选取，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点。,3-22 如图示，有一自动卸货矿工车，满载时的质量为m，从与水平成倾角=30.0斜面上的点A由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离L时，与缓冲弹簧一道沿斜面运动，当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货。试问要完成这一过程。空载时与满载时车的质量之比变为多大？,解：选取沿斜面向上为x轴正方向。弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点。矿车在下滑和上行的全过程中，摩擦力所作的功
12、为,式中m为空载时的质量，x为弹簧最大被压缩量。,根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值，故有,由于矿车返回原位时速度为零，故EK=0；而EP=（m-m)g(L+x)sin,故有,由式（1）、（2）可解得,分析：若取小球、弹簧和地球为系统，小球在被释放后的运动过程中，只有重力和弹力这两个保守力作功，系统的机械能守恒。初态选在压缩弹簧刚被释放时刻，这样可以使弹簧的劲度系数与初态相联系；而终态则取在小球刚好能通过半圆弧时的最高点C处，因为这时小球的速率正处于一种临界状态，小于此速率时，小球将脱离轨道抛出。该速率可根据重力提供圆弧运动中所需的向心力，由牛顿定律求出。再由系统的机械能守恒定律解出弹簧劲度系数的最小值即可。,3-26 如图示，把质量m=0.20kg的小车放在位置A时，弹簧被压缩L=7.510-2m。然后在弹簧弹性力的作用下，小球从位置A由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动，小球与轨道间的摩擦力不计。已知BCD是半径r=0.15m的半圆弧，AB相距为2r。求弹簧劲度系数的最小值。,解：小球要刚好通过最高点C时，轨道对小球支持力FN=0，因此，有,取小球开始时所在位置A为重力势能的零点，由系统的机械能守恒定律，有,由式（1）、（2）可解得,
