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1、第四章 动量定理与动量守恒定律,安徽大学出版社,ANHUI UNIVERSITY,大学物理学,41 质点和质点系的动量定理,42 动量守恒定律,43 质心 质心运动定理,第四章 动量定理与动量守恒定律,41 质点和质点系的动量定理,一、力的冲量 质点的动量定理,由牛顿第二定律.,分离变量对一段时间积分,冲量(impulse)作用力在作用时间内的累积量.(矢量),单位(SI):牛顿秒(NS),恒力的冲量：,质点动量定理(theorem of momentum)物体在运动过程中所受合外力的冲量,等于该物体动量的增量.,说明,(1)冲量的方向与动量增量的方向一致.,(2)动量定理中的动量和冲量都是矢
2、量，分量式如下.在实际计算时，往往选择合适的坐标系，用其在坐标轴上的分量式进行计算；:,(3)动量定理仅适用于惯性系,且与惯性系的选择无关.,二、质点系的动量定理,对质点系中第i 个质点运用牛顿第二定律.,求和,有,因为内力成对出现,上式可写为:,*合外力等于总动量对时间的变化率.,积分可得:,质点系动量定理 作用于质点系的合外力的冲量等于系统动量的增量.,合外力的冲量,系统末动量,系统初动量,说明,(1)内力的作用不改变系统的总动量,但内力做功却可以改变系统的总动能.,(2)变质量物体的运动方程:,应用动量定理时应注意以下几点：,1.在实际计算时，往往选择合适的坐标系，用其在坐标轴上的分量式
3、进行计算；,3.在碰撞或冲击问题中,牛顿定律无法直接应用,而动量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果.动量定理不仅适用于碰撞或打击过程，也适用于其他力学过程，在实际问题中，如果有限大小的力（如重力）与冲力同时作用时，因冲力极大，作用时间又极短，可以忽略有限大小的力的冲量。,2.是作用于系统内各质点的外力的矢量和，在处理铅直方向的碰撞一类问题时应考虑重力，只有当物体间的相互作用力远大于重力时，重力才能忽略不计；,动量定理常应用于碰撞问题,冲力：两物体在碰撞瞬时产生的相互作用力。,平均冲力：冲力对碰撞时间的平均。,例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.
4、,在 一定时,越小，则 越大.,例 如图,一重锤从高度为h=1.5m的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的末速度为零.若打击时间分别为10-1s,10-2s,10-3s,10-4s，试计算这几种情形下平均冲力与重力的比值.,解:取如图坐标系,设重锤质量为m.,重锤初速度,末速度为0.,对重锤应用动量定理,令平均冲力为,由此解得,计算结果如下,例 如图用传送带A输送煤粉,料斗口在A上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上.设料斗口连续卸煤的流量为q=40kg/s,A以v=2.0m/s的水平速度匀速向右移动.求装煤的过程中,煤粉对A的作用力的大小和方向.(不计相对传送带静止的煤粉质量.
5、),解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。,设 时间内落下的煤粉质量为 则有,由动量定理,可得煤粉所受的平均冲力为,煤粉给传送带的平均冲力为,方向由如图夹角表示,方向由如图夹角表示,42 动量守恒定律(law of momentum conservation),恒矢量,定义 系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变.,说明,(1)系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的,各物体的动量必须相对于同一惯性参考系.,(2)守恒条件:合外力为零.有些情况外力不为零,比如在碰撞、打击
6、、爆炸等相互作用时间极短的过程中,内力外力,则可略去外力,认为系统动量守恒.,(3)若系统所受外力的矢量和不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，总动量虽不守恒,但动量守恒可在某一方向上成立.,(4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立,是自然界最普遍,最基本的定律之一,即使在微观高速范围仍适用.,例 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核.已知电子和中微子的运动方向互相垂直,且电子动量为1.210-22 kgms-1,中微子的动量为6.410-23 kgms-1.问新的原子核的动量的值和方向如何?,解,即,恒矢量,又因为,代入数据计算得,系统动量守恒,即,43
7、 质心(center of mass)质心运动定理,一、质心,在研究多个物体组成的系统或有限广延体时,质心是个重要的概念,对于质点系运用动量定理,有:,可写为:,即:,令:为质点的总质量,并令,则有,质心 我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的几何点C,称为质点系的质量中心,简称质心.,质心运动方程,1)离散分布的质点系的质心位置(直角坐标系),2)质量连续分布的质点系的质心位置,说明,(1)质心是由质量分布所决定的一个特殊的几何点,不一定在质点上.,(2)根据质心定义 a.两质点的质心在其连线上,质心到两质点的距离与质量成反比;b.两质点系的质心,即为将两质点系质量集中于各自质心而构成的两个假
8、想质点的质心;c.密度均匀的对称物体,质心在其几何中心.(例如球,圆盘等),如图所示，刚体由半径为r、质量为m1的匀质薄圆盘和沿圆盘直径方向连接的长为l、质量为m2的匀质细杆组成，试求其质心位置。,求半径为R的匀质半薄球壳的质心位置。,在半球壳上取一圆环，其平面与y轴垂直。则圆环面积为,dm=2Pi R2sin d,设质量面密度为，则圆环的质量为,dS=2Pi Rsin Rd,二、质心运动定理(theorem of motion for center of mass),引入质心后,所以质点系的动量,作用在质点系上的合外力等于质点系的总质量乘以质点系质心的加速度。,质点系内各质点的动量的矢量和等
9、于质点系质心的速度乘以质点系的总质量。,如图所示，大楔子的质量为m1，小楔子的质量为m2，它们的水平边长分别为l1和l2，假定它们之间不存在摩擦力，当小楔子从图中位置滑到下角与桌面接触时，大楔子向左滑动多远？,解：滑动前，系统质心在Ox轴方向的坐标为：,滑动后，系统质心在Ox轴方向的坐标为：,由于质心不变，所以：,三、质心参考系 柯尼希定理,所谓质心参考系,就是质点系的质心与坐标原点重合且坐标轴的方向相对于原惯性系保持不变的坐标系.,在质心参考系中,因而质点系的总动量为零.,因此又称为零动量参考系或动量中心系.,质点系相对于质心参考系的运动具有特殊性:,(1)质心系中,质点系的总动量恒为零;,
10、(2)质点系相对于质心系的角动量定理与质点系在惯性系中相对于某定点的角动量定理具有相同的形式.,(3)下面将要介绍的柯尼希定理.,质点系中任一质点mi 相对于某一惯性系K 速度是,相对质点系质心的速度是,质点系质心相对于K系的速度是,则由伽利略速度变换式,有:,质点系相对K 系总动能为:,质心动能,相对动能,柯尼希定理 质点系相对惯性系的动能,等于质点系的质心动能和相对动能之和.,*质点系的动量等于质心的动量,质点系的动能,在一般情况下并不等于质心的动能.,两体问题,质量分别为m1和m2的两个相互作用的质点组成的质点系,就是所谓两体问题.,两质点在惯性系K 中速度分别是 和,在质心系C中速度是 和,于是两质点的相对速度 为:,由于是质心系.,两式联立,解得,相对动能,约化质量,两体问题中的柯尼希定理,
