北师大版一元二次方程根与系数的关系.ppt

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1、一元二次方程的根与系数的关系,韦达定理,教学目标1熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用 它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未 知系数。2通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观 察、归纳的能力和推理论证的能力；3通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.,重点、难点分析本节的重点是一元二次方程根与系数的关系，因为学习这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础.,二、重点难点疑点及解决办法1教学重点：根与系数的关系及其推导。2教学难点：正确理解根与系数的关系。3教学疑点：一元二次方程

2、根与系数的关系是指一元二次方 程两根的和，两根的积与系数的关系。,4解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意 0这个前提条件，而应用判别式的前提条件是 方程必须是一元二次方程，即二次项系数a0 因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件 a0 0,ax2+bx+c=0(a0),复习提问,1写出一元二次方程的一般式,2一元二次方程求根公式。,X1,2=,用配方法解一般形式的一元二次方程,移项，得,配方，得,即,一、真实感知过程：,(a0）,即,该式叫一元二次方程的求根公式,当 b2-4ac0,该方法叫公式法,一般形式的一元二次方程,一、真实感知：,(a0）,当=b2-4ac0,该方程无解

3、：,如何利用该万能公式？,1）把一元二次方程化成一般式；,用公式法解一元二次方程的一般步骤:,（2）确定出a,b,c 的值；,（3）求出的值（或代数式）,并且a,b,c a之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。,4）当=b-4ac0时，能求出方程的两个不相等的实数根。,当=b-4ac=0时，能求出方程的两个相等的实数根。,当=b-4ac0时，该方程没有实数根。,1、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,2、已知方程(2a-1)x2-8x+6=0没有实数根,则a的最小整数值是多少?,用适当的方法解下列一元二次方程,3、(x-2)（3x

4、-5）=1,2、3x=5x+2,1、2x-4x-1=0,若x1，x2是ax2+bx+c=0(a0)的两个根,观察、思考两根和、两根积与系数的关系。,韦达定理的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,注：能用韦达定理的前提条件为0,韦达（15401603）,=,韦达定理的作用：,（一：验根）判定下列各方程后面的 两个数是不是它的两个根。,1,2,3,二、求两根之和与两根之积：,1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=3,x1+x

5、2=0,x1x2=0,x1+x2=,x1x2=,x1x2=-,已知方程5x+kx-6=0的一根是2，求它的另一根及k的值。,三、已知方程一根，求另一根。,法2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由韦达定理，得,x1 2=k+1,x1 2=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,X1，x2是方程2x+4x-5=0的两根则X1+x2=(X1+1)(x2+1)=_,四、可以求其它有关式子的值：,x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-2)2 2(-2.5)=4+5=9,(x1+1)(

6、x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2.5+(-2)+1=-3.5,解：,由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-3,(1),=,=,=,(x1x2)2 x12+x22 2x1x2,(2)x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,小结：用公式法解一元二次方程的解的情况,1）当=b-4ac0时，能求出方程的两个不相等的实数根。,当=b-4ac=0时，能求出方程的两个相等的实数根。,当=b-4ac0时，该方程没有实数根。,2根与系数的关系,ax+bx+c=0有根的前提（a0 0)两根为x1，x2，那么,作用C：由已知一元二次方程的一个根求出另一个 根或未知系数,

7、2 作用A：判定解方程的结果是不是它的两个根。,利用B：求两根的和，两根的积,作用D：求出其它有关式子的值,（2）已知方程4x+3x-2=0的两根是x1，x2，则x1+x2=x1x2=,（3）一元二次方程5x+kx-6=0的一个 根是非负数，则它的另一根是_，k是,4、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,5、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,6关于x的方程X-(2m

8、+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等，则m=_,（7）一元二次方程x+5x+k=0的两实根之差是3，则k=,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,你会做吗？,你会做吗？,已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:,(1)x1=1,x2=2,(2)x1=3,x2=-6,(3)x1=-,x2=,(4)x1=-2+,x2=-2-,由韦达定理，得,解：,x1+x2=-,x1 x2=,p=-3(x1+x2)q=3 x1 x2,(1)p=-9 q=6,(2)p=9 q=-54,(3)p=0 q=-21,(4)p=12 q=-3,1以，为根的一元二次方程是（）,作业：,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-,-2,观察、思考两根和、两根积与系数的关系。,a0,0,x1x2,ax+bx+c=0（a0）,