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1、医药数理统计方法 7.1,7.1 方差分析的基本原理,一、方差分析的基本概念二、方差分析的基本原理,Ch7 方差分析,医药数理统计方法 7.1,一、方差分析的基本概念,1、指标：试验的结果。2、因素：试验中变化的条件。3、水平：因素在试验中所取得每一个状态称为因素的一个水平。4、单因素试验：在试验中，如果只考虑一个因素对某试验指标的影响，往往选择这个因素的r个水平对试验指标进行考察，每一个水平下的试验指标构成一个总体，共r个总体。对每个总体随机安排的试验，称为单因素试验。,医药数理统计方法 7.1,例7.1(单因素试验)为研究中药三棱莪术对肿瘤重量的影响，以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小
2、白鼠致癌，然后随机分成四组（每组10只）分别实施三种剂量的药物注射及适量的生理盐水注射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿瘤重量(单位：g)，见表7.1。,医药数理统计方法 7.1,表7.1 四种处理方式下小白鼠肿瘤重量,医药数理统计方法 7.1,分析：问题只涉及“处理方式”一个因素，适量生理盐水和三种剂量可视为该因素的四个水平，所考察的试验指标是肿瘤重量，目的是考察四个水平下指标间（四个总体间）是否具有显著差异，以此判断药物的不同剂量对肿瘤的抑制作用是否有差别。,医药数理统计方法 7.1,二、方差分析的基本原理,方差分析的目的是考察多总体间和多个总体两两间是否存在显著差异。多个总体实际上就
3、是多个随机变量，要考察多个总体间有无差异实际上是要考察这些随机变量是否具有相同的分布。在实际问题中经常遇到的是服从正态分布的总体，在试验设计时，除了所考虑的因素水平不同以外，将其他试验条件尽可能做到一致，这样使得各个总体的方差都相同，即方差齐性。从而，推断几个正态总体是否相同，便简化为检验几个具有方差齐性的正态总体均值是否相等的问题。,医药数理统计方法 7.1,方差分析的前提条件就是各个总体为相互独立的正态总体，且方差齐性。方差分析的目的是根据各个总体的样本观测值，检验各个总体均值间和两两总体均值间是否存在显著差异。,如果在前提条件下假定各个总体均值之间没有差异，说明各组的全部数据可以看成来自
4、同一个总体，根据所有数据与总样本均数算出的离差平方和，叫做总离差平方和(sum of squares of total deviations),记作SST。它反映了全部样本的波动程度。,医药数理统计方法 7.1,方差分析是根据离差(变异)来源的不同，将总离差平方和分解为组间离差平方和(sum of squares of deviations between groups)和组内离差平方和(sum of squares of deviations within groups)之和。单因素试验的组间离差只来自于一个因子(因素A)，我们可以把组间离差平方和记作SSA。组内离差平方和又叫做误差平方和(
5、sum of squares of error),记作SSE。即 SST=SSA+SSE,医药数理统计方法 7.2,7.2 单因素试验的方差分析,一、单因素方差分析模型二、检验方法,医药数理统计方法 7.2,一、单因素方差分析模型,假定问题只涉及一个因素(A)，共有k个水平A1,A2,Ak，要考察因素A的不同水平对试验指标X是否有显著影响。,设在水平Aj(j=1,2,.,k)下的试验指标(记作总体Xj)均服从正态分布且方差齐性，各总体之间相互独立。也就是说 XjN(j，2)，j=1,2,.,k，其中j，2均为未知参数，X1,X2,Xk相互独立。,医药数理统计方法 7.2,通过试验，对每个总体X
6、j，可以得到相应的一个样本,假定k个样本之间均相互独立，可用如下单因素方差分析模型表示,其中j，2均为常数，且ij相互独立。为了描述方便，我们将样本表示成表格形式。,医药数理统计方法 7.2,单因素方差分析样本表,医药数理统计方法 7.2,根据单因素方差分析模型(7.1)式，要检验因素对指标是否有显著影响，简化为检验因素各水平下指标间均值是否相等，即检验k个具有同方差的独立正态总体的均值是否全部相等。零假设与备择假设为,H0:1=2=k,H1:1,2,k不全相等。,医药数理统计方法 7.2,二、检验方法,1、离差平方和分解,医药数理统计方法 7.2,医药数理统计方法 7.2,2、检验统计量 单
7、因素方差分析模型下，若H0成立，选取的统计量为,这里 MSA称为组间均方，MSE称为组内均方。,F统计量越大，越说明在总的方差波动中，组间均方是主要的方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。,医药数理统计方法 7.2,例7.4 见例7.1，为研究中药三棱莪术对肿瘤重量的影响，以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小白鼠致癌，然后随机分成四组（每组10只）分别实施三种剂量的药物注射及适量的生理盐水注射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿瘤重量(单位：g)，见表7.1。试对下表数据进行方差分析，判断药物三棱莪术的不同剂量对肿瘤的抑制作用是否有显著性差异
8、。,医药数理统计方法 7.2,表7.1 四种处理方式下小白鼠肿瘤重量,医药数理统计方法 7.2,解：将因素的四个水平分别记作A1,A2,A3,A4，四个水平下相应的指标分别记作X1,X2,X3,X4。分析试验安排并结合相关经验，可以合理地假定X1,X2,X3,X4相互独立，且Xj(j,2),j=1,2,3,4。建立H0:1=2=k,H1:1,2,k不全相等。若H0成立，则,医药数理统计方法 7.2,计算得,医药数理统计方法 7.2,样本值,拒绝H0(P0.02),即可以认为药物三棱莪术的不同剂量对肿瘤的抑制作用有显著差异。,医药数理统计方法 7.3,Tukey法 设因素A共有k个水平，每个水平
9、均作m次试验，经过方差分析，判明各水平之间存在显著差异，为了比较两两均数之间是否存在显著差异，可按下式计算T值,其中 为t-化极差分位数，可查P298的附表18。,7.3 两两间多重比较的检验方法,医药数理统计方法 7.3,计算要比较的两个总体(比如Xi与Xj)的样本均数之差dij(),将样本均数之差dij的绝对值 与按前面式子计算得到的T值进行比较。1)若，则认为第i个总体与第j个总体均数间差异显著；2)若，则认为第i个总体与第j个总体均数间差异不显著。,医药数理统计方法 7.3,例7.5 见例7.4，为研究中药三棱莪术对肿瘤重量的影响，以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小白鼠致癌，然后随
10、机分成四组（每组10只）分别实施三种剂量的药物注射及适量的生理盐水注射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿瘤重量(单位：g)，见表7.1。根据例7.4的结果，试对表7.1数据进行两两间多重比较，判断药物三棱莪术的不同剂量两两间对肿瘤的抑制作用的差别。,医药数理统计方法 7.3,表7.1 四种处理方式下小白鼠肿瘤重量,医药数理统计方法 7.3,解：沿用例7.4的记号 建立,医药数理统计方法 7.3,所以总体2，3，4均与总体1有显著差异，而其他任意两两间均无显著差异。也就是说，中药三棱莪术的三个剂量对肿瘤均有抑制作用，而三个剂量两两间均无显著性差别。,医药数理统计方法 7.3,注：1)Tukey方法只适用于各水平试验次数相同的情况。2)Schffe法可以解决各水平样本容量不尽相同情形的均数两两比较问题。当各水平样本容量相同时，T法和S法都可采用，但通常选用T法。,医药数理统计方法 7.3,3)对于多个总体之间的两两比较，如果用两独立样本t检验，可能会增大犯第一类错误的概率。例如，以k=5为例，5个总体均数之间的两两比较，需作 次检验，设每次检验犯第一类错误的概率为0.05，则经过10次检验后犯第一类错误的概率为1-(1-0.05)10=0.4013，这是不能接受的。,
